Question

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

- F(n) = 10, при n < 11
- F(n) = n + F(n − 1), если n ≥ 11

Чему равно значение выражения F(2204) − F(2202)?

Accepted Answer

4407

Answer

Идея решения: заметить, что для n ≥ 11 функция F(n) представляет собой сумму всех натуральных чисел от 11 до n, плюс константа 10, и использовать это для вычисления разности.

Проанализируем структуру функции. При n < 11 функция возвращает константу 10. При n ≥ 11 каждый вызов добавляет текущее значение n и рекурсивно вызывает F(n − 1).

Для n ≥ 11 получаем:
$$F(n) = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 11 + F(10) = n + (n-1) + \ldots + 11 + 10$$

Это сумма целых чисел от 11 до n плюс 10.

Найдём разность:
$$F(2204) - F(2202) = \left(2204 + 2203 + \ldots + 11 + 10\right) - \left(2202 + 2201 + \ldots + 11 + 10\right)$$

При вычитании все слагаемые от 11 до 2202 сокращаются, остаются только:
$$F(2204) - F(2202) = 2204 + 2203 = 4407$$

Проверим вычислением на Python:

```python
from sys import setrecursionlimit

setrecursionlimit(3000)

def f(n):
    if n < 11:
        return 10
    else:
        return n + f(n - 1)

print(f(2204) - f(2202))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e3/e364ab015ea2d3edc5d0e603a003acb4.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/3c/3c81bab6f8804ac50414fc78a9e47607.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/19/1944f6b0d993cfc06a12097be5120d39.svg)

Задание №16Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике