Question

Значение выражения $9^{12} + 3^8 - 3$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Accepted Answer

7

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени тройки, затем представить результат в троичной системе и подсчитать количество двоек.

Приведём все слагаемые к степеням тройки:
- $9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$
- $3^8$ остаётся как есть
- $3 = 3^1$

Таким образом, нужно вычислить $3^{24} + 3^8 - 3$ и найти его представление в системе с основанием 3.

В троичной системе:
- $3^{24}$ — это единица на позиции 24 (то есть $1\underbrace{00\ldots0}_{24}$)
- $3^8$ — это единица на позиции 8 (то есть $1\underbrace{00\ldots0}_{8}$)
- $3^1$ — это единица на позиции 1

При вычитании единицы из нулей происходит заём из старших разрядов. Вычитание $3^1$ из суммы $3^{24} + 3^8$ даёт:

$$3^{24} + 3^8 - 3 = 3^{24} + 3^8 - 3^1$$

В троичной записи это преобразуется в:
$$1\underbrace{22\ldots2}_{7}1\underbrace{22\ldots2}_{7}0_3$$

Количество двоек в этой записи равно 7.

Проверим вычислением на Python:

```python
N = 9**12 + 3**8 - 3
count = 0
while N > 0:
    if N % 3 == 2:
        count += 1
    N = N // 3
print(count)
```

Альтернативный способ — преобразовать число в строку в троичной системе:

```python
x = 9**12 + 3**8 - 3
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 3)
    x //= 3
s = s[::-1]
print(s.count("2"))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/aa/aa7d0c00bfeeb39deb255c4c79a9b053.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e4/e446a9016415e9ba2ba2021fdd5df76c.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике