Question

Сколько существует десятичных чисел, которые делятся на 5, при условии что все цифры числа различные?

Accepted Answer

1863219

Answer

Идея решения: число делится на 5 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или 5; подсчитаем количество чисел с различными цифрами для каждого случая отдельно.

**Случай 1: число оканчивается на 0**

Однозначное число: только 0 (1 вариант).

Двузначное число: 0 в разряде единиц, одна из 9 цифр (1–9) в разряде десятков → $9 \cdot 1 = 9$ вариантов.

Трёхзначное число: 0 в разряде единиц, одна из 9 цифр в разряде десятков, одна из 8 оставшихся цифр в разряде сотен → $8 \cdot 9 \cdot 1 = 72$ варианта.

В общем случае для $n$-значного числа (где $n \geq 2$): количество вариантов равно $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdots (11 - n) = \frac{9!}{(10-n)!}$.

**Случай 2: число оканчивается на 5**

Однозначное число: только 5 (1 вариант).

Двузначное число: 5 в разряде единиц, одна из 8 цифр (1–4, 6–9; не 0, так как число не может начинаться с нуля) в разряде десятков → $8 \cdot 1 = 8$ вариантов.

Трёхзначное число: 5 в разряде единиц, одна из 8 цифр в разряде десятков, одна из 8 оставшихся цифр в разряде сотен (исключаем 5 и цифру из разряда десятков) → $8 \cdot 8 \cdot 1 = 64$ варианта.

В общем случае для $n$-значного числа (где $n \geq 2$): количество вариантов равно $8 \cdot 8 \cdot 7 \cdots (11 - n) = 8 \cdot \frac{8!}{(9-n)!}$.

**Подсчёт суммы**

Для чисел, оканчивающихся на 0:
$$	ext{сумма}_0 = 1 + 9 + 9 \cdot 8 + 9 \cdot 8 \cdot 7 + \cdots + 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdots 1$$

Для чисел, оканчивающихся на 5:
$$	ext{сумма}_5 = 1 + 8 + 8 \cdot 8 + 8 \cdot 8 \cdot 7 + \cdots + 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdots 1$$

```python
nol = [1]
pat = [1, 8]

for i in range(1, 10):
    nol.append(nol[i - 1] * (10 - i))

for i in range(2, 10):
    pat.append(pat[i - 1] * (10 - i))

print(sum(pat) + sum(nol))
```

Программа строит два массива: `nol` содержит количества чисел длины 1, 2, 3, … с различными цифрами, оканчивающихся на 0; `pat` — аналогично для чисел, оканчивающихся на 5. Затем суммирует оба массива.

Задание №8Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике