Question

Значение арифметического выражения $49^{10} + 7^{30} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Accepted Answer

18

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени числа 7, выполнить арифметические операции и подсчитать количество цифр 6 в семеричной записи результата.

Заметим, что $49 = 7^2$, поэтому:
$$49^{10} = (7^2)^{10} = 7^{20}$$

Исходное выражение принимает вид:
$$7^{20} + 7^{30} - 7^2$$

Вынесем общий множитель $7^2$:
$$7^2(7^{18} + 7^{28} - 1)$$

Рассмотрим структуру в семеричной системе счисления.

Число $7^{20}$ в семеричной записи — это единица, за которой следуют 20 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{20}$.

Число $7^{30}$ в семеричной записи — это единица, за которой следуют 30 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{30}$.

При сложении $7^{20} + 7^{30}$ получаем: $1\underbrace{00\ldots0}_{10}1\underbrace{00\ldots0}_{20}$ (единица на позиции 30 и единица на позиции 20).

Число $49 = 7^2$ в семеричной записи: $100_7$.

При вычитании $7^{20} + 7^{30} - 7^2$ из позиции 20 занимаем для вычитания единицы. Это приводит к образованию цифр 6 в семеричной системе (так как $10_7 - 1 = 6_7$).

Детальный расчёт показывает, что в результате вычитания образуется последовательность из 18 цифр 6.

Проверим вычислением на Python:

```python
x = 49**10 + 7**30 - 49
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 7)
    x //= 7
s = s[::-1]
print(s.count('6'))
```

Программа преобразует число в семеричную систему счисления и подсчитывает количество цифр 6.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/98/98fab68f9ce8bfba0074a40a26584c2c.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/d0/d0fe958a73e4396c09c34bf5c0ccfe6b.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/9a/9a135d417eb9afee398d6c0c568fb6ea.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/40/408343ef6a95d2cf97d380c2a9043804.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f5/f57bf0e20bf09e081e39bcac578caab4.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/5f/5f37c2401aa436e59ea21b0a0bf1ba33.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике