Question

Значение выражения $4^{16} + 2^{34} - 8$ записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр 1 содержится в этой записи?

Accepted Answer

30

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени двойки, затем найти двоичное представление и подсчитать единицы.

Приведём все компоненты к степеням двойки:
- $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$
- $2^{34}$ уже в нужном виде
- $8 = 2^3$

Вычислим выражение:
$$2^{32} + 2^{34} - 2^3$$

Представим в двоичной системе:
- $2^{34}$ — единица на позиции 34 (считая с нуля): $1\underbrace{00\ldots0}_{34}$
- $2^{32}$ — единица на позиции 32: $\underbrace{00\ldots0}_{2}1\underbrace{00\ldots0}_{32}$
- Сумма $2^{34} + 2^{32}$ даёт единицы на позициях 34 и 32

При вычитании $2^3$ из этой суммы происходит заём из позиции 32. Результат:
$$2^{34} + 2^{32} - 2^3 = 2^{34} + (2^{32} - 2^3)$$

Вычислим $2^{32} - 2^3$:
$$2^{32} - 2^3 = 2^3(2^{29} - 1) = 2^3 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{29}$$

В двоичной записи это: $\underbrace{11\ldots1}_{29}\underbrace{00\ldots0}_{3}$ (29 единиц и 3 нуля).

Итоговое число:
$$2^{34} + 2^{32} - 2^3 = 1\underbrace{11\ldots1}_{29}\underbrace{00\ldots0}_{3}$$

Всего единиц: $1 + 29 = 30$.

```python
x = 4**16 + 2**34 - 8
binary_str = bin(x)[2:]
print(binary_str.count('1'))
```

Или компактнее:

```python
print(bin(4**16 + 2**34 - 8).count('1'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e0/e0c68dc6d9e3efeae9c2bbb605628a8c.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/5d/5df0cad6ea8852a403f7258a868df9af.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике