Question

Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам:

1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа.
2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

**Пример.** Исходное число: 348. Суммы: $3 + 4 = 7$; $4 + 8 = 12$. Результат: 127.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1711.

Accepted Answer

298

Answer

Идея решения: разложить выходное число 1711 на две суммы цифр, найти их источник и восстановить исходное трёхзначное число.

Выходное число 1711 состоит из двух чисел, записанных в порядке убывания. Возможные разложения:
- 17 и 11 (так как $17 > 11$)
- 171 и 1 (так как $171 > 1$)
- 1 и 711 (невозможно, так как $1 < 711$)

Проверим первый вариант: $k_1 = 17$, $k_2 = 11$.

Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$. Тогда:
- $a + b = 17$
- $b + c = 11$

Из первого уравнения: $a = 17 - b$.
Из второго уравнения: $c = 11 - b$.

Для минимального числа нужно минимизировать $a$, затем $b$, затем $c$.

Так как $a \geq 1$ (первая цифра трёхзначного числа) и $a \leq 9$:
$$1 \leq 17 - b \leq 9 \implies 8 \leq b \leq 16$$

Так как $b \leq 9$: $b = 8$ или $b = 9$.

Так как $c \geq 0$ и $c \leq 9$:
$$0 \leq 11 - b \leq 9 \implies 2 \leq b \leq 11$$

Так как $b \leq 9$: $2 \leq b \leq 9$.

Объединяя ограничения: $b \in \{8, 9\}$.

При $b = 8$: $a = 9$, $c = 3$. Число: 983.
При $b = 9$: $a = 8$, $c = 2$. Число: 892.

Проверим второй вариант: $k_1 = 171$, $k_2 = 1$.

Тогда:
- $a + b = 171$ (невозможно, так как максимум $9 + 9 = 18$)

Следовательно, единственный вариант — первый. Из двух кандидатов (983 и 892) наименьшее число — 892.

Проверка: $8 + 9 = 17$, $9 + 2 = 11$. Результат: 1711. ✓

Однако переберём все трёхзначные числа для полноты:

```python
for i in range(100, 1000):
    s = str(i)
    k1 = int(s[0]) + int(s[1])
    k2 = int(s[1]) + int(s[2])
    first = str(max(k1, k2))
    second = str(min(k1, k2))
    result = first + second
    if result == '1711':
        print(i)
        break
```

Задание №5Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике