Question

Найти наибольшее целое число $A$, при котором формула

$$((x \leq 9) 	o (x^2 \leq A)) \land ((y^2 \leq A) 	o (y \leq 9))$$

тождественно истинна для всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

Accepted Answer

99

Answer

Идея решения: преобразовать импликации в эквивалентные условия на множества и найти пересечение ограничений. Используя эквивалентность $P o Q \equiv eg P \lor Q$, раскроем обе импликации: - Первая импликация $(x \leq 9) o (x^2 \leq A)$ истинна, когда либо $x > 9$, либо $x^2 \leq A$. - Вторая импликация $(y^2 \leq A) o (y \leq 9)$ истинна, когда либо $y^2 > A$, либо $y \leq 9$. Для того чтобы обе импликации были истинны одновременно при всех неотрицательных $x$ и $y$, необходимо: 1. **Для первой импликации:** все значения $x \in [0, 9]$ должны удовлетворять $x^2 \leq A$. Максимальное значение $x^2$ на этом отрезке — это $9^2 = 81$. Следовательно, $A \geq 81$. 2. **Для второй импликации:** все значения $y$, для которых $y^2 \leq A$, должны удовлетворять $y \leq 9$. Это означает, что если $y^2 \leq A$, то $y \leq 9$. Контрапозитивно: если $y > 9$, то $y^2 > A$. Для $y = 10$ имеем $y^2 = 100$, поэтому необходимо $A < 100$. Объединяя оба условия: $81 \leq A < 100$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $A = 99$. ```python def check_formula(x, y, a): return ((x <= 9) <= (x * x <= a)) and \ ((y * y <= a) <= (y <= 9)) for a in range(300, 0, -1): valid = True for x in range(300): for y in range(300): if not check_formula(x, y, a): valid = False break if not valid: break if valid: print(a) break ``` Программа подтверждает, что при $A = 99$ формула истинна для всех пар $(x, y)$, а при $A = 100$ она становится ложной (например, при $x = 10, y = 0$: первая импликация требует $100 \leq 100$ (верно), но вторая при $y = 0$ требует $0 \leq 9$ (верно), однако при $y = 10$ вторая импликация нарушается). ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/c3/c3660ebaf2e64c41274ae3bc7c93cb40.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/a5/a5a7d9c8d0106e4715b5d5fb28c00fe3.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/0e/0e35dafa989585ea8c1dc66da425120f.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/50/50c7cb1f251cb82a1e6686b76e73a106.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/0b/0b8ac694688ed80a4c73bbc3b2f5f24b.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/63/637badcd63af3665cdb712394043308f.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/27/27c022e9ba933b5bff338d34be957008.svg) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/fa/fab9040d4c2033c34cbec846baad0117.svg)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике