Question

Игорь составляет пятизначные числа, используя цифры девятеричной системы счисления (0–8). Сколько различных чисел может составить Игорь, в которых ровно одна цифра 5 и рядом с ней не стоят нечётные цифры?

Accepted Answer

8880

Answer

Идея решения: переберём все позиции, где может находиться единственная цифра 5, и для каждой позиции подсчитаем количество допустимых чисел, учитывая ограничения на соседей пятёрки и на первую цифру.

**Анализ по позициям цифры 5:**

Нечётные цифры в девятеричной системе: 1, 3, 5, 7. Рядом с пятёркой не должны стоять нечётные цифры (1, 3, 7).

**Позиция 1 (первая цифра — 5):**
- Первая позиция: 5
- Вторая позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Позиции 3, 4, 5: любые, кроме 5 → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (8 вариантов каждая)

Количество: $1 	imes 5 	imes 8^3 = 2560$

**Позиция 2 (вторая цифра — 5):**
- Первая позиция: чётные, не 0 → {2, 4, 6, 8} (4 варианта)
- Вторая позиция: 5
- Третья позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Позиции 4, 5: любые, кроме 5 → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (8 вариантов каждая)

Количество: $4 	imes 1 	imes 5 	imes 8^2 = 1280$

**Позиция 3 (третья цифра — 5):**
- Первая позиция: не 0, не 5 → {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (7 вариантов)
- Вторая позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Третья позиция: 5
- Четвёртая позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Пятая позиция: любая, кроме 5 → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (8 вариантов)

Количество: $7 	imes 5 	imes 1 	imes 5 	imes 8 = 1400$

**Позиция 4 (четвёртая цифра — 5):**
- Первая позиция: не 0, не 5 → {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (7 вариантов)
- Вторая позиция: любая, кроме 5 → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (8 вариантов)
- Третья позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Четвёртая позиция: 5
- Пятая позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)

Количество: $7 	imes 8 	imes 5 	imes 1 	imes 5 = 1400$

**Позиция 5 (пятая цифра — 5):**
- Первая позиция: не 0, не 5 → {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (7 вариантов)
- Позиции 2, 3: любые, кроме 5 → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (8 вариантов каждая)
- Четвёртая позиция: чётные, кроме 5 → {0, 2, 4, 6, 8} (5 вариантов)
- Пятая позиция: 5

Количество: $7 	imes 8^2 	imes 5 	imes 1 = 2240$

**Итого:**
$$2560 + 1280 + 1400 + 1400 + 2240 = 8880$$

Задание №8Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике