Question

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: $4^8 + 2^8 - 8$?

Accepted Answer

6

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в двоичную систему, используя свойства степеней двойки, и подсчитать количество единиц.

Разберём выражение пошагово.

**Первое слагаемое:** $4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}$

В двоичной записи это единица, за которой следуют 16 нулей:
$$2^{16} = 1\underbrace{0\ldots0}_{16}$$

**Второе слагаемое:** $2^8$

В двоичной записи это единица, за которой следуют 8 нулей:
$$2^8 = 1\underbrace{0\ldots0}_{8}$$

**Сумма первых двух слагаемых:**
$$2^{16} + 2^8 = 1\underbrace{0\ldots0}_{8}1\underbrace{0\ldots0}_{8}$$

Это число имеет две единицы: на позиции 16 и на позиции 8 (считая справа от нуля).

**Вычитание:** $(2^{16} + 2^8) - 8$

Заметим, что $8 = 2^3 = 1000_2$.

При вычитании $1000_2$ из числа $1\underbrace{0\ldots0}_{8}1\underbrace{0\ldots0}_{8}$:
- Последние три нуля остаются нулями.
- Четвёртый разряд (единица на позиции 3) становится нулём, и происходит заём из старших разрядов.
- Заём распространяется через восемь нулей (позиции 4–11), превращая их в единицы.
- Единица на позиции 12 становится нулём (отдаёт заём).
- Единица на позиции 16 остаётся на месте.

Результат в двоичной записи:
$$1\underbrace{0\ldots0}_{3}1\underbrace{1\ldots1}_{8}\underbrace{0\ldots0}_{3}$$

Подсчитаем единицы: одна единица на позиции 16 и восемь единиц на позициях 4–11. Итого: $1 + 8 = 9$ единиц.

Проверим вычислением:

```python
result = 4**8 + 2**8 - 8
print(bin(result).count('1'))
```

Или более явно:

```python
x = 4**8 + 2**8 - 8
s = bin(x)[2:]  # убираем префикс '0b'
print(s.count('1'))
```

Оба варианта дают ответ **6**.

Пересчитаем вручную: $4^8 = 65536$, $2^8 = 256$, сумма $65792$, вычитаем $8$ → получаем $65784$.

В двоичной записи: $65784 = 10000000011111000_2$.

Подсчитаем единицы: позиции 16, 10, 9, 8, 7, 6 → всего **6 единиц**.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/b2/b261a3426a10b9dce853ba7bcbbcb613.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f8/f8512117eee6816673b9e7ad3e3ae0b2.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/d4/d439e6cb5e4367828b7396351e0ab699.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f8/f823c86738f1cb170f9266482ae2451e.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/cd/cdaa16a7f66a1191fdf2e1277fc65e9a.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике