Question

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x < A) \lor (y < A) \lor (x + 2y > 50)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Accepted Answer

17

Answer

Идея решения: перебрать значения $A$ и для каждого проверить, истинно ли выражение при всех целых неотрицательных $x$ и $y$ в разумном диапазоне; найти минимальное $A$, удовлетворяющее условию. Логическое выражение $(x < A) \lor (y < A) \lor (x + 2y > 50)$ должно быть истинным для всех пар $(x, y)$ с $x, y \geq 0$. Это означает, что не должно существовать пары, для которой все три условия одновременно ложны. Условие ложно только когда $x \geq A$, $y \geq A$ и $x + 2y \leq 50$. Нужно найти такое $A$, при котором система неравенств $x \geq A$, $y \geq A$, $x + 2y \leq 50$ не имеет решений в целых неотрицательных числах. Переберём значения $A$ от 0 до некоторого верхнего предела и для каждого проверим, существует ли хотя бы одна пара $(x, y)$, нарушающая выражение. Как только такой пары не найдётся, получим ответ. ```python def F(x, y, A): return (x < A) or (y < A) or (x + 2 * y > 50) for A in range(0, 100): if all(F(x, y, A) for x in range(0, 100) for y in range(0, 100)): print(A) break ``` Проверим логику: при $A = 17$ система $x \geq 17$, $y \geq 17$, $x + 2y \leq 50$ требует $x + 2y \leq 50$ с $x, y \geq 17$. Минимальное значение $x + 2y$ при этих ограничениях — $17 + 2 \cdot 17 = 51 > 50$, что противоречит третьему условию. Следовательно, решений нет, и выражение истинно при всех $(x, y)$. При $A = 16$ пара $(16, 17)$ даёт $16 + 2 \cdot 17 = 50 \leq 50$, и все три условия ложны, поэтому выражение ложно.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике