Question

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 48 имеет ровно три значащих разряда.

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: найти минимальное основание, при котором число 48 представимо ровно тремя цифрами.

Трёхзначное число в системе счисления с основанием $n$ имеет вид $a_2 n^2 + a_1 n + a_0$, где $a_2 \geq 1$ (старший разряд не равен нулю). Минимальное трёхзначное число в такой системе — это $1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 0 = n^2$, а максимальное — $(n-1) \cdot n^2 + (n-1) \cdot n + (n-1) = n^3 - 1$.

Чтобы число 48 имело ровно три значащих разряда в системе с основанием $n$, необходимо:
$$n^2 \leq 48 < n^3$$

Из левого неравенства: $n \leq \sqrt{48} \approx 6{,}93$, то есть $n \leq 6$.

Из правого неравенства: $n > \sqrt[3]{48} \approx 3{,}63$, то есть $n \geq 4$.

Таким образом, $4 \leq n \leq 6$.

Проверим $n = 4$:
- $4^2 = 16 \leq 48$ ✓
- $4^3 = 64 > 48$ ✓

Число 48 в системе счисления с основанием 4:
$$48 = 2 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 0 = 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 0$$

Запись: $230_4$ — ровно три разряда.

Наименьшее основание — 4.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике