Question

Значение арифметического выражения $7^{170} + 7^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030$, записали в семеричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в семеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 71 нуль. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Accepted Answer

2029

Answer

Идея решения: перебрать значения $x$ от максимума в убывающем порядке, для каждого вычислить выражение и подсчитать количество нулей в семеричной записи результата.

Переберём значения $x$ от 2030 вниз до 1. Для каждого $x$ вычислим $7^{170} + 7^{100} - x$ и переведём результат в семеричную систему счисления, подсчитав количество нулей в этой записи. Когда найдём первое (максимальное) значение $x$, при котором количество нулей равно 71, выведем его.

```python
for x in range(2030, 0, -1):
    t = 7**170 + 7**100 - x
    count_zeros = 0
    while t != 0:
        if t % 7 == 0:
            count_zeros += 1
        t //= 7
    if count_zeros == 71:
        print(x)
        break
```

Алгоритм работает следующим образом:
- Цикл перебирает $x$ от 2030 вниз до 1.
- Для каждого $x$ вычисляется значение выражения.
- Во вложенном цикле число переводится в семеричную систему путём последовательного деления на 7; при каждом делении проверяется, равен ли остаток нулю (что соответствует нулю в семеричной записи).
- Когда найдено первое значение $x$ с ровно 71 нулём, программа выводит его и завершается.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике