Question

Значение выражения $4^{1014} + 2^{1012} - 7$ записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр 1 содержится в этой записи?

Accepted Answer

1011

Answer

Идея решения: преобразовать выражение, используя свойства степеней двойки, и найти двоичное представление результата.

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $4^{1014} = 2^{2028}$.

Исходное выражение принимает вид:
$$2^{2028} + 2^{1012} - 7$$

Число $2^{2028}$ в двоичной записи — это единица, за которой следуют 2028 нулей.

Число $2^{1012}$ в двоичной записи — это единица, за которой следуют 1012 нулей.

При сложении $2^{2028} + 2^{1012}$ получаем число с единицами на позициях 2028 и 1012 (считая от нулевой позиции справа):
$$1\underbrace{0\ldots0}_{1016}1\underbrace{0\ldots0}_{1012}$$

Теперь вычтем 7. Заметим, что $7 = 111_2$ (три единицы в двоичной записи).

При вычитании $111_2$ из числа, оканчивающегося на $\ldots000$, происходит заём из старших разрядов. Результат вычитания:
$$1\underbrace{0\ldots0}_{1016}1\underbrace{0\ldots0}_{1012} - 111_2 = 1\underbrace{0\ldots0}_{1016}\underbrace{1\ldots1}_{1009}001$$

В этом числе:
- одна единица на позиции 2028;
- 1009 единиц на позициях с 1011 по 3;
- одна единица на позиции 0.

Итого: $1 + 1009 + 1 = 1011$ единиц.

Проверка на Python:

```python
print(bin(4**1014 + 2**1012 - 7)[2:].count('1'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/8b/8b5acab9c8170f3c1cfab1b7598c9d8f.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике