Question

Для какого наибольшего целого положительного числа $A$ выражение

$$(	ext{x} + 3	ext{y} > A) \lor (	ext{y} < 30) \lor (	ext{x} < 30)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Accepted Answer

119

Answer

Идея решения: найти наибольшее значение $A$, при котором дизъюнкция трёх условий остаётся истинной для всех неотрицательных целых пар $(x, y)$. **Графический подход** Условия $x < 30$ и $y < 30$ определяют квадратную область $[0, 30) imes [0, 30)$ на координатной плоскости. Вне этой области (то есть при $x \geq 30$ или $y \geq 30$) дизъюнкция уже истинна благодаря второму или третьему слагаемому. Для пар $(x, y)$ внутри квадрата $[30, \infty) imes [30, \infty)$ оба условия $y < 30$ и $x < 30$ ложны. Чтобы дизъюнкция осталась истинной, необходимо, чтобы $x + 3y > A$ выполнялось для всех таких пар. Минимальное значение $x + 3y$ в области $x \geq 30, y \geq 30$ достигается в точке $(30, 30)$: $$x + 3y = 30 + 3 \cdot 30 = 120$$ Следовательно, $A < 120$. Наибольшее целое значение — $A = 119$. ```python for A in range(300, -1, -1): count = 0 for x in range(300): for y in range(300): if (x + 3 * y > A) or (y < 30) or (x < 30): count += 1 if count == 90000: print(A) break ``` Программа перебирает значения $A$ от 300 вниз и проверяет, для скольких пар $(x, y)$ из диапазона $[0, 300) imes [0, 300)$ выражение истинно. При $A = 119$ все 90 000 пар удовлетворяют условию. **Альтернативный способ** ```python def f(x, y, a): return (x + 3 * y > a) or (y < 30) or (x < 30) m = [] for a in range(1, 1000): if all(f(x, y, a) == 1 for x in range(0, 100) for y in range(0, 100)): m.append(a) print(max(m)) ``` Здесь накапливаются все значения $A$, при которых выражение истинно для всех пар в диапазоне $[0, 100) imes [0, 100)$, и выводится максимум. ![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=149346)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике