Question

Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём в записи нет цифры 1, все цифры различны, и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом?

Accepted Answer

180

Answer

Идея решения: перебрать все перестановки из 5 цифр восьмеричного алфавита (исключая 1), проверить условия на первую позицию, различность цифр и чередование чётности.

Восьмеричный алфавит: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Условия:
- Исключаем цифру 1, остаётся $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (7 цифр).
- Первая цифра не может быть 0 (иначе число не 5-значное в восьмеричной системе).
- Все 5 цифр различны (выбираем перестановки).
- Чётные цифры: $\{0, 2, 4, 6\}$; нечётные: $\{3, 5, 7\}$.
- Никакие две чётные подряд, никакие две нечётные подряд (чередование чётности).

Алгоритм: генерируем все перестановки из 7 цифр по 5, для каждой проверяем:
1. Первая цифра не равна 0.
2. Чётность соседних цифр чередуется.

```python
from itertools import permutations

alphabet = '0234567'
count = 0

for perm in permutations(alphabet, 5):
    # Первая цифра не может быть 0
    if perm[0] == '0':
        continue
    
    # Проверяем чередование чётности
    valid = True
    for i in range(4):
        digit_i = int(perm[i])
        digit_next = int(perm[i + 1])
        # Если обе чётные или обе нечётные — не подходит
        if digit_i % 2 == digit_next % 2:
            valid = False
            break
    
    if valid:
        count += 1

print(count)
```

Проверка логики:
- Перестановка `(2, 3, 4, 5, 6)`: первая 2 (чётная), вторая 3 (нечётная), третья 4 (чётная), четвёртая 5 (нечётная), пятая 6 (чётная) — чередуется, подходит.
- Перестановка `(2, 4, 3, 5, 6)`: 2 (чётная), 4 (чётная) — две чётные подряд, не подходит.

Задание №8Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике