Question

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$$(	ext{x} + 2	ext{y} < A) \lor (	ext{y} > 	ext{x}) \lor (	ext{x} > 20)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $	ext{x}$ и $	ext{y}$?

Accepted Answer

61

Answer

Идея решения: найти минимальное значение $A$, при котором дизъюнкция трёх условий охватывает всю область целых неотрицательных координат.

Выражение истинно при любых $	ext{x}, 	ext{y} \geq 0$ тогда и только тогда, когда множество точек, где оно ложно, пусто.

Выражение ложно, когда одновременно:
- $	ext{x} + 2	ext{y} \geq A$
- $	ext{y} \leq 	ext{x}$
- $	ext{x} \leq 20$

Нужно найти точку $(	ext{x}, 	ext{y})$ в области $\{	ext{x} \leq 20, 	ext{y} \leq 	ext{x}, 	ext{x}, 	ext{y} \geq 0\}$, которая максимизирует $	ext{x} + 2	ext{y}$.

При условиях $	ext{y} \leq 	ext{x}$ и $	ext{x} \leq 20$ выражение $	ext{x} + 2	ext{y}$ максимально, когда $	ext{y} = 	ext{x}$ (так как коэффициент при $	ext{y}$ больше). Тогда:

$$	ext{x} + 2	ext{y} = 	ext{x} + 2	ext{x} = 3	ext{x}$$

При $	ext{x} = 20$ получаем $3 \cdot 20 = 60$.

Следовательно, максимальное значение $	ext{x} + 2	ext{y}$ в запрещённой области равно 60. Чтобы исключить эту точку и все подобные, нужно $A > 60$, то есть $A \geq 61$.

Проверка: при $A = 61$ для любых $	ext{x}, 	ext{y} \geq 0$ выполняется хотя бы одно из трёх условий:
- если $	ext{x} > 20$, третье условие истинно;
- если $	ext{x} \leq 20$ и $	ext{y} > 	ext{x}$, второе условие истинно;
- если $	ext{x} \leq 20$ и $	ext{y} \leq 	ext{x}$, то $	ext{x} + 2	ext{y} \leq 3	ext{x} \leq 60 < 61$, первое условие истинно.

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=149956)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/db/db6dbf8c048eb3c6707d65071c7d5593.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/07/0740ed673b4645e6673f5176495f3d96.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/6f/6fa2826e89b249a0ab07ee6711af9d76.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/db/db6dbf8c048eb3c6707d65071c7d5593.svg)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике