Question

Значение арифметического выражения $9^{18} + 3^{54} - 9$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Accepted Answer

34

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени тройки, выполнить арифметические операции в двоичной системе (через степени двойки), а затем перевести результат в троичную систему и подсчитать количество двоек.

**Шаг 1. Приведение к степеням тройки**

Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому:
$$9^{18} = (3^2)^{18} = 3^{36}$$

Исходное выражение принимает вид:
$$3^{36} + 3^{54} - 9 = 3^{36} + 3^{54} - 3^2$$

**Шаг 2. Анализ структуры в троичной системе**

В троичной системе счисления:
- $3^{36}$ — это единица на позиции 36 (и нули на всех остальных позициях).
- $3^{54}$ — это единица на позиции 54.
- $3^2 = 9$ — это единица на позиции 2.

При вычислении $3^{36} + 3^{54}$ получаем число с единицами на позициях 36 и 54.

При вычитании $3^2$ из этого числа происходит заём из позиции 36. Заём распространяется через позиции 2–35, превращая их в двойки (в троичной системе при заёме единица становится тройкой, из которой вычитается единица, оставляя двойку на каждой позиции).

**Шаг 3. Структура результата**

После вычитания число в троичной системе имеет следующую структуру:
- Позиции 0–1: нули (2 нуля).
- Позиции 2–35: двойки (34 двойки).
- Позиции 36–53: нули (18 нулей).
- Позиция 54: единица.

**Шаг 4. Подсчёт двоек**

Количество двоек в записи: $35 - 2 + 1 = 34$.

```python
x = 9**18 + 3**54 - 9
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 3)
    x //= 3
s = s[::-1]
print(s.count("2"))
```

Программа переводит число в троичную систему и подсчитывает количество цифр 2.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/32/32ce44db58296928aa96989270cc9138.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/9e/9eeeae4207e105fc0fd8cab3a541ec16.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/a2/a292c2dcb70e2e4c8a630e19f0166eea.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/03/03d33c943845774ec27dd73980c9e893.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/88/88b245678186614f7891c00aeffc53bb.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике