Question

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 57 записывается как 111. Укажите это основание.

Accepted Answer

7

Answer

Идея решения: представить число 111 в системе с основанием $n$ через степени основания и составить уравнение.

Запись 111 в системе счисления с основанием $n$ означает:

$$111_n = 1 \cdot n^2 + 1 \cdot n^1 + 1 \cdot n^0 = n^2 + n + 1$$

По условию это число равно 57 в десятичной системе:

$$n^2 + n + 1 = 57$$

$$n^2 + n - 56 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 1 + 4 \cdot 56 = 225 = 15^2$$

$$n = \frac{-1 \pm 15}{2}$$

Получаем два корня: $n = 7$ и $n = -8$.

Так как основание системы счисления должно быть положительным целым числом, больше 1, то $n = 7$.

Проверка: $1 \cdot 7^2 + 1 \cdot 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57$ ✓

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике