Question

Функция $F(n)$ для натурального числа $n$ определена следующим образом:

$$F(n) = \begin{cases} n, & 	ext{если } n \geq 2025 \ n 	imes 2 + F(n + 2), & 	ext{если } n < 2025 \end{cases}$$

Найти значение $F(82) - F(81)$.

Accepted Answer

1945

Answer

Идея решения: вычислить $F(82)$ и $F(81)$ через рекурсию, затем найти их разность.

Реализуем функцию согласно определению:

```python
def F(n):
    if n >= 2025:
        return n
    else:
        return n * 2 + F(n + 2)

print(F(82) - F(81))
```

Проанализируем вычисления. Заметим, что при $n < 2025$ функция вызывает себя с аргументом $n + 2$, то есть увеличивает аргумент на 2 каждый раз, пока не достигнет значения $\geq 2025$.

Для $F(82)$:
$$F(82) = 82 	imes 2 + F(84) = 164 + F(84)$$
$$F(84) = 84 	imes 2 + F(86) = 168 + F(86)$$

Продолжая этот процесс, аргумент возрастает: $82, 84, 86, \ldots, 2024, 2026$.

Количество шагов: $(2026 - 82) / 2 = 972$.

$$F(82) = 82 	imes 2 + 84 	imes 2 + 86 	imes 2 + \cdots + 2024 	imes 2 + 2026$$

Это сумма: $2(82 + 84 + 86 + \cdots + 2024) + 2026$.

Аналогично для $F(81)$:
$$F(81) = 81 	imes 2 + F(83) = 162 + F(83)$$

Аргумент возрастает: $81, 83, 85, \ldots, 2023, 2025$.

$$F(81) = 81 	imes 2 + 83 	imes 2 + 85 	imes 2 + \cdots + 2023 	imes 2 + 2025$$

Это сумма: $2(81 + 83 + 85 + \cdots + 2023) + 2025$.

Вычислим разность:
$$F(82) - F(81) = 2(82 + 84 + \cdots + 2024) + 2026 - 2(81 + 83 + \cdots + 2023) - 2025$$

$$= 2[(82 + 84 + \cdots + 2024) - (81 + 83 + \cdots + 2023)] + 1$$

Заметим, что:
- $(82 + 84 + \cdots + 2024)$ — сумма чётных чисел от 82 до 2024.
- $(81 + 83 + \cdots + 2023)$ — сумма нечётных чисел от 81 до 2023.

Каждое чётное число на 1 больше соответствующего нечётного:
$$82 - 81 = 1, \quad 84 - 83 = 1, \quad \ldots, \quad 2024 - 2023 = 1$$

Количество пар: 972$$F(82) - F(81) = 2 	imes 972 + 1 = 1944 + 1 = 1945$$

Задание №16Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике