Question

Значение арифметического выражения

$$7 \cdot 512^{1912} + 6 \cdot 64^{1954} - 5 \cdot 8^{1991} - 4 \cdot 8^{1980} - 2022$$

записали в системе счисления с основанием 8. Определите количество цифр 7 в записи этого числа.

Accepted Answer

3903

Answer

Идея решения: вычислить значение выражения в десятичной системе, затем перевести в восьмеричную и подсчитать количество цифр 7.

Заметим, что все компоненты выражения — степени чисел 512, 64 и 8, которые являются степенями двойки:
- $512 = 2^9 = 8^3$
- $64 = 2^6 = 8^2$
- $8 = 2^3$

Python поддерживает работу с произвольно большими целыми числами, поэтому можно напрямую вычислить значение выражения и преобразовать его в восьмеричную систему.

**Способ 1: использование встроенной функции `oct()`**

```python
n = 7 * (512 ** 1912) + 6 * (64 ** 1954) - 5 * (8 ** 1991) - 4 * (8 ** 1980) - 2022
print(oct(n).count('7'))
```

Функция `oct()` преобразует число в восьмеричную запись (с префиксом `'0o'`), а метод `count()` подсчитывает количество символов '7'.

**Способ 2: ручное преобразование в восьмеричную систему**

```python
x = 7 * (512 ** 1912) + 6 * (64 ** 1954) - 5 * (8 ** 1991) - 4 * (8 ** 1980) - 2022
s = ""
while x != 0:
    s += str(x % 8)
    x //= 8
s = s[::-1]
print(s.count("7"))
```

Здесь число переводится в восьмеричную систему путём последовательного деления на 8 и сбора остатков. Строка разворачивается в обратном порядке (так как остатки накапливаются в обратном порядке), затем подсчитывается количество цифр 7.

Оба способа дают одинаковый результат.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике