Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [22, 72]$ и $Q = [42, 102]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg((x \in A) \land (x \in P)) \lor (x \in Q)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[15, 50]$
2) $[24, 80]$
3) $[35, 75]$
4) $[55, 100]$

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, используя законы де Моргана, и найти, при каких значениях $x$ оно может быть ложным; затем выбрать отрезок $A$, исключающий эти значения.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем выражение по закону де Моргана:
$$
eg(A \land P) \lor Q = 
eg A \lor 
eg P \lor Q$$

Выражение $
eg A \lor 
eg P \lor Q$ ложно только в том случае, если одновременно $A = 1$, $P = 1$ и $Q = 0$.

Это означает: $x \in A$, $x \in P$ и $x 
otin Q$.

Найдём множество точек, где $P = 1$ и $Q = 0$:
- $P = 1$ при $x \in [22, 72]$
- $Q = 0$ при $x 
otin [42, 102]$, то есть при $x < 42$ или $x > 102$

Пересечение: $(x \in [22, 72]) \land (x < 42) = [22, 42)$

На отрезке $[22, 42)$ выражение может быть ложным, если $A = 1$. Чтобы выражение было тождественно истинно, необходимо, чтобы $A = 0$ на этом отрезке, то есть $[22, 42) \cap A = \varnothing$.

Проверим варианты:
1) $[15, 50]$ — пересекается с $[22, 42)$ ✗
2) $[24, 80]$ — пересекается с $[22, 42)$ ✗
3) $[35, 75]$ — пересекается с $[22, 42)$ ✗
4) $[55, 100]$ — не пересекается с $[22, 42)$ ✓

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике