Question

Найти наименьшее целое неотрицательное число $A$, при котором выражение

$$(x \cdot y < A) \lor (x < y) \lor (x \geq 12)$$

тождественно истинно для любых целых неотрицательных $x$ и $y$.

Accepted Answer

122

Answer

Идея решения: найти область, где первые два условия ложны, и убедиться, что третье условие там истинно; затем определить минимальное $A$, при котором произведение $x \cdot y$ покрывает оставшиеся точки.

Выражение ложно только если все три дизъюнкта ложны одновременно:
- $x \cdot y \geq A$
- $x \geq y$
- $x < 12$

Следовательно, нужно найти максимальное значение произведения $x \cdot y$ в области, где $x < 12$, $x \geq y$ и $x, y \geq 0$ — целые.

При $x < 12$ и $x \geq y$ максимум произведения достигается при наибольшем $x$ (то есть $x = 11$) и наибольшем допустимом $y$ (то есть $y = x = 11$).

Вычислим: $11 \cdot 11 = 121$.

Чтобы выражение было истинно при всех целых неотрицательных $x$ и $y$, необходимо, чтобы $x \cdot y < A$ для всех пар в критической области. Поскольку максимальное произведение равно 121, нужно $A > 121$, то есть $A \geq 122$.

Проверим $A = 122$: для любых $x, y \geq 0$
- если $x \geq 12$, то третий дизъюнкт истинен;
- если $x < 12$ и $x < y$, то второй дизъюнкт истинен;
- если $x < 12$ и $x \geq y$, то $x \cdot y \leq 11 \cdot 11 = 121 < 122$, первый дизъюнкт истинен.

Таким образом, выражение истинно при всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=149952)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/c1/c1df26468608c35f3ee074aaefd9085d.svg)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике