Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [1, 39]$ и $Q = [23, 58]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg((x \in A) \land (x \in P)) \lor (x \in Q)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[18, 90]$
2) $[27, 70]$
3) $[21, 40]$
4) $[5, 20]$

Accepted Answer

2

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, найти условие на множество $A$, а затем проверить, какой из предложенных отрезков его удовлетворяет.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем выражение, применив закон де Моргана:
$$
eg(A \land P) \lor Q = 
eg A \lor 
eg P \lor Q$$

Выражение $
eg A \lor 
eg P \lor Q$ должно быть истинным при всех $x$.

Проанализируем, когда $
eg P \lor Q = 1$:
- $
eg P = 1$ при $x 
otin P$, то есть при $x \in (-\infty, 1) \cup (39, +\infty)$
- $Q = 1$ при $x \in [23, 58]$

Объединение этих множеств: $(-\infty, 1) \cup [23, 58] \cup (39, +\infty) = (-\infty, 1) \cup [23, +\infty)$.

На интервале $[1, 23)$ выражение $
eg P \lor Q = 0$. Чтобы вся дизъюнкция $
eg A \lor 
eg P \lor Q$ оставалась истинной, необходимо $
eg A = 1$ на этом интервале, то есть $x 
otin A$ при $x \in [1, 23)$.

Это означает, что $A \cap [1, 23) = \varnothing$, или эквивалентно, $A \subseteq [23, +\infty)$.

Проверим предложенные варианты:
- $[18, 90]$: пересекается с $[1, 23)$ — не подходит
- $[27, 70]$: полностью содержится в $[23, +\infty)$ — подходит
- $[21, 40]$: пересекается с $[1, 23)$ — не подходит
- $[5, 20]$: полностью содержится в $[1, 23)$ — не подходит

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике