Question

Значение выражения $4 \cdot 625^9 - 25^{15} + 2 \cdot 5^{11} - 7$ записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр 4 в получившейся записи?

Accepted Answer

15

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени числа 5, определить, в каких разрядах пятеричной записи появляются четвёрки, и подсчитать их количество.

Заметим, что $625 = 5^4$ и $25 = 5^2$. Перепишем выражение через степени пятёрки:

$$4 \cdot (5^4)^9 - (5^2)^{15} + 2 \cdot 5^{11} - 7 = 4 \cdot 5^{36} - 5^{30} + 2 \cdot 5^{11} - 7$$

Преобразуем число 7 в пятеричной системе: $7 = 1 \cdot 5 + 2 = 12_5$. Тогда:

$$4 \cdot 5^{36} - 5^{30} + 2 \cdot 5^{11} - 1 \cdot 5 - 2$$

При вычитании $5^{30}$ из $4 \cdot 5^{36}$ происходит заём из старших разрядов. Слагаемое $4 \cdot 5^{36}$ в пятеричной записи — это 4 в разряде 36 и нули ниже. После вычитания $5^{30}$ получаем четвёрки в разрядах с 35 по 30 включительно (всего 6 разрядов), а в разряде 36 остаётся 3.

Слагаемое $2 \cdot 5^{11}$ добавляет двойку в разряд 11. При вычитании 1 из разряда 5 и 2 из разряда 0 происходит заём, который распространяется вверх. Это создаёт четвёрки в разрядах с 10 по 2 включительно (всего 9 разрядов).

Итого: $(35 - 30 + 1) + (10 - 2 + 1) = 6 + 9 = 15$ цифр 4.

Проверим программно:

```python
x = 4 * 625**9 - 25**15 + 2 * 5**11 - 7
count = 0
while x > 0:
    if x % 5 == 4:
        count += 1
    x //= 5
print(count)
```

Альтернативный способ — преобразовать число в строку пятеричной записи:

```python
x = 4 * 625**9 - 25**15 + 2 * 5**11 - 7
digits = ""
while x > 0:
    digits += str(x % 5)
    x //= 5
print(digits[::-1].count("4"))
```

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике