Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [12, 62]$ и $Q = [52, 92]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg((x \in A) \land (x \in Q)) \lor (x \in P)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[7, 60]$
2) $[40, 95]$
3) $[45, 65]$
4) $[55, 100]$

Accepted Answer

1

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение по законам де Моргана, найти условие на множество $A$, а затем проверить, какой из предложенных отрезков ему удовлетворяет.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем выражение, применяя закон де Моргана:
$$
eg(A \land Q) \lor P = 
eg A \lor 
eg Q \lor P$$

Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из слагаемых. Проанализируем, при каких $x$ выражение $
eg Q \lor P$ принимает значение 1:

- $
eg Q = 1$ при $x 
otin [52, 92]$, то есть при $x \in (-\infty, 52) \cup (92, +\infty)$
- $P = 1$ при $x \in [12, 62]$

Объединение этих множеств: $(-\infty, 52) \cup [12, 62] \cup (92, +\infty)$.

На интервале $(62, 92]$ оба условия $
eg Q$ и $P$ ложны. Чтобы выражение $
eg A \lor 
eg Q \lor P$ было истинно на всей числовой прямой, необходимо, чтобы $
eg A = 1$ на интервале $(62, 92]$, то есть $A$ не должен пересекаться с $(62, 92]$.

Это означает, что $A \subseteq (-\infty, 62]$.

Проверим предложенные отрезки:

1) $[7, 60] \subseteq (-\infty, 62]$ ✓
2) $[40, 95]$ пересекается с $(62, 92]$ ✗
3) $[45, 65]$ пересекается с $(62, 92]$ ✗
4) $[55, 100]$ пересекается с $(62, 92]$ ✗

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике