Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [2, 42]$ и $Q = [22, 62]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$((x \in Q) 	o (x \in P)) 	o 
eg(x \in A)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[3, 14]$
2) $[23, 32]$
3) $[43, 54]$
4) $[15, 45]$

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, найти множество точек, где оно может быть ложным, и выбрать отрезок $A$, который исключает эти точки.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Исходное выражение:
$$((Q 	o P) 	o 
eg A)$$

Преобразуем, используя эквивалентность $X 	o Y \equiv 
eg X \lor Y$:

$$Q 	o P \equiv 
eg Q \lor P$$

Тогда:
$$(
eg Q \lor P) 	o 
eg A \equiv 
eg(
eg Q \lor P) \lor 
eg A \equiv (Q \land 
eg P) \lor 
eg A$$

Для того чтобы выражение $(Q \land 
eg P) \lor 
eg A$ было истинно при всех $x$, необходимо, чтобы оно было истинно везде. Это возможно, только если $
eg A$ истинно везде, где $(Q \land 
eg P)$ ложно, то есть $A$ должно быть пусто везде, где $(Q \land 
eg P)$ истинно.

Найдём множество, где $Q \land 
eg P = 1$:
- $Q = 1$ при $x \in [22, 62]$
- $P = 1$ при $x \in [2, 42]$
- $
eg P = 1$ при $x 
otin [2, 42]$

Пересечение: $Q \land 
eg P$ истинно при $x \in [22, 62] \cap ([2, 42]^c) = [43, 62]$.

Для истинности всего выражения при всех $x$ необходимо, чтобы $
eg A = 1$ на множестве $[43, 62]$, то есть $A$ не должен пересекаться с $[43, 62]$.

Проверим варианты:
1) $[3, 14]$ — не пересекается с $[43, 62]$ ✓
2) $[23, 32]$ — не пересекается с $[43, 62]$ ✓
3) $[43, 54]$ — полностью содержится в $[43, 62]$ ✓
4) $[15, 45]$ — пересекается с $[43, 62]$ ✗

Однако нужно проверить, какой вариант гарантирует истинность при всех $x$. Выражение $(Q \land 
eg P) \lor 
eg A$ истинно везде, если:
- либо $Q \land 
eg P = 1$ (на $[43, 62]$),
- либо $
eg A = 1$ (вне $A$).

Отрезок $[43, 54]$ полностью лежит в $[43, 62]$, поэтому на этом отрезке $Q \land 
eg P = 1$, и выражение истинно. Вне этого отрезка либо $Q \land 
eg P = 0$, либо $
eg A = 1$, что также обеспечивает истинность.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике