Question

Найти наименьшее целое неотрицательное число $A$, при котором логическое выражение

$$(x \geq 9) \lor (2x < y) \lor (xy < A)$$

тождественно истинно при всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e8/e8e5dabc0982c4176087811866a8f2df.svg)

Accepted Answer

129

Answer

Идея решения: найти минимальное $A$, при котором дизъюнкция трёх условий охватывает все пары $(x, y)$ с неотрицательными целыми координатами. Выражение должно быть истинным для любых $x, y \geq 0$. Это означает, что для каждой пары $(x, y)$ хотя бы одно из трёх условий должно быть выполнено: - $x \geq 9$, или - $2x < y$, или - $xy < A$. Переформулируем: нужно найти минимальное $A$ такое, что если первые два условия ложны, то третье обязано быть истинным. Первые два условия ложны, когда: - $x < 9$ и - $2x \geq y$. При таких ограничениях произведение $xy$ максимально, когда $x = 8$ и $y = 2x = 16$, что даёт $xy = 128$. Следовательно, чтобы гарантировать $xy < A$ для всех пар, нарушающих первые два условия, необходимо $A > 128$, то есть $A \geq 129$. Проверим перебором: ```python for a in range(0, 1000): valid = True for x in range(0, 1000): for y in range(0, 1000): if not ((x >= 9) or (2 * x < y) or (x * y < a)): valid = False break if not valid: break if valid: print(a) break ``` Программа перебирает значения $A$ и для каждого проверяет, истинно ли выражение при всех $x, y$ в диапазоне $[0, 1000)$. Первое найденное значение, при котором условие выполняется, — это ответ.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике