Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [31, 81]$ и $Q = [51, 111]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg((x \in Q) \land (x \in P)) \lor (x \in A)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[25, 75]$
2) $[55, 100]$
3) $[48, 90]$
4) $[83, 130]$

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение по закону де Моргана, найти множество, где оно может быть ложным, и выбрать отрезок $A$, который покрывает это множество.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем выражение, применив закон де Моргана:
$$
eg(Q \land P) \lor A = 
eg Q \lor 
eg P \lor A$$

Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно слагаемое. Найдём, где $
eg Q \lor 
eg P = 1$:
- $
eg Q = 1$ при $x 
otin [51, 111]$, то есть при $x \in (-\infty, 51) \cup (111, +\infty)$
- $
eg P = 1$ при $x 
otin [31, 81]$, то есть при $x \in (-\infty, 31) \cup (81, +\infty)$

Объединение этих множеств: $(-\infty, 31) \cup (81, +\infty) \cup (-\infty, 51) \cup (111, +\infty) = (-\infty, 51) \cup (81, +\infty)$.

На отрезке $[51, 81]$ оба условия $
eg Q$ и $
eg P$ ложны, поэтому для тождественной истинности всего выражения необходимо, чтобы $A = 1$ на всём отрезке $[51, 81]$.

Проверим варианты:
- $[25, 75]$ — не содержит точку 81
- $[55, 100]$ — не содержит точку 51
- $[48, 90]$ — содержит весь отрезок $[51, 81]$ ✓
- $[83, 130]$ — не содержит отрезок $[51, 81]$

Только отрезок $[48, 90]$ полностью покрывает критическое множество $[51, 81]$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике