Question

Значение выражения $49^7 + 7^{21} - 7$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Accepted Answer

13

Answer

Идея решения: преобразовать выражение, используя свойства степеней в системе счисления с основанием 7, и подсчитать количество цифр 6 в результате.

Заметим, что $49 = 7^2$, поэтому $49^7 = (7^2)^7 = 7^{14}$.

Исходное выражение принимает вид:
$$7^{14} + 7^{21} - 7$$

В системе счисления с основанием 7:
- $7^{14}$ записывается как единица, за которой следуют 14 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{14}$
- $7^{21}$ записывается как единица, за которой следуют 21 нуль: $1\underbrace{00\ldots0}_{21}$
- $7$ записывается как $10$

Сначала вычислим $7^{21} + 7^{14}$. В семеричной системе это даёт единицу на позиции 21 и единицу на позиции 14:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{6}1\underbrace{00\ldots0}_{14}$$

Теперь вычтем 7 (то есть $10_7$). При вычитании единицы из нулей происходит заём из старшего разряда. Единица на позиции 14 становится нулём, а все нули с позиций 0 по 13 становятся шестёрками (так как $10_7 - 1_7 = 6_7$ в каждом разряде после заёма):
$$1\underbrace{00\ldots0}_{6}0\underbrace{66\ldots6}_{13}$$

Таким образом, в записи результата содержится ровно 13 цифр 6.

Проверка с помощью программы:

```python
x = 49 ** 7 + 7 ** 21 - 7
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 7)
    x //= 7
s = s[::-1]
print(s.count('6'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/56/561eb0a15ee0131dc27c49febe78e853.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/31/31cfb5a32a43f80aedf0d12cbdace129.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике