Question

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [22; 40]$ и $C = [32; 50]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , для которого логическое выражение

$\neg(x \in A) \to ((x \in B) \leftrightarrow (x \in C))$

истинно при любом значении переменной $x$ .

$$
eg(x \in A) 	o ((x \in B) \leftrightarrow (x \in C))$$

истинно при любом значении переменной $x$.

Accepted Answer

28

Answer

Идея решения: преобразовать импликацию в дизъюнкцию, найти множество, где эквиваленция истинна, и определить минимальный отрезок $A$, который покрывает дополнение этого множества.

Обозначим: $A$ — условие «$x \in A$», $B$ — условие «$x \in B$», $C$ — условие «$x \in C$».

Исходное выражение: $
eg A 	o (B \leftrightarrow C)$.

Применим преобразование импликации ($
eg P 	o Q \equiv P \lor Q$):
$$
eg A 	o (B \leftrightarrow C) \equiv A \lor (B \leftrightarrow C)$$

Для истинности этого выражения при всех $x$ необходимо, чтобы дизъюнкция была истинна везде. Это возможно, если множество, где $B \leftrightarrow C$ ложна, полностью содержится в множестве $A$.

Найдём, где $B \leftrightarrow C$ истинна. Эквиваленция истинна, когда оба операнда имеют одинаковое значение:
- Оба истинны: $x \in B \cap C = [32; 40]$
- Оба ложны: $x 
otin B$ и $x 
otin C$, то есть $x \in (-\infty; 22] \cup [50; +\infty)$

Следовательно, $B \leftrightarrow C$ истинна на множестве $(-\infty; 22] \cup [32; 40] \cup [50; +\infty)$.

Где $B \leftrightarrow C$ ложна: $x \in (22; 32) \cup (40; 50)$.

Чтобы выражение $A \lor (B \leftrightarrow C)$ было истинно везде, множество $A$ должно содержать все точки, где эквиваленция ложна:
$$A \supseteq (22; 32) \cup (40; 50)$$

Минимальный отрезок, содержащий оба интервала $(22; 32)$ и $(40; 50)$, — это отрезок $(22; 50)$.

Его длина: $50 - 22 = 28$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике