Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [12, 62]$ и $Q = [32, 92]$. Выберите такой отрезок $A$, что формула

$$((x \in A) \land (x \in Q)) 	o (x \in P)$$

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[5, 60]$
2) $[10, 80]$
3) $[40, 100]$
4) $[70, 120]$

Accepted Answer

1

Answer

Идея решения: импликация истинна для всех $x$ тогда и только тогда, когда пересечение множеств $A$ и $Q$ полностью содержится в $P$.

Обозначим условия: $A$ — принадлежность $x$ отрезку $A$; $P$ — принадлежность $x$ отрезку $P$; $Q$ — принадлежность $x$ отрезку $Q$.

Преобразуем импликацию:
$$(A \land Q) 	o P = 
eg(A \land Q) \lor P = 
eg A \lor 
eg Q \lor P$$

Выражение $
eg Q \lor P$ истинно при $x \in (-\infty, 62] \cup (92, +\infty)$. Это означает, что оно ложно только на интервале $(62, 92]$.

Чтобы вся формула была истинна при любом $x$, на интервале $(62, 92]$ должно быть истинно $
eg A$, то есть $x 
otin A$. Следовательно, отрезок $A$ не должен пересекаться с интервалом $(62, 92]$.

Проверим варианты:
- $[5, 60]$: не пересекается с $(62, 92]$ ✓
- $[10, 80]$: пересекается с $(62, 92]$ ✗
- $[40, 100]$: пересекается с $(62, 92]$ ✗
- $[70, 120]$: пересекается с $(62, 92]$ ✗

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике