Question

Значение выражения $49^8 + 7^{24} - 7$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько нулей в этой записи?

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: преобразуем выражение, используя свойства степеней в системе счисления с основанием 7, и подсчитаем нули в результате.

Заметим, что $49 = 7^2$, поэтому $49^8 = (7^2)^8 = 7^{16}$.

Исходное выражение принимает вид:
$$7^{16} + 7^{24} - 7$$

В системе счисления с основанием 7:
- $7^{16}$ записывается как единица, за которой следуют 16 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{16}$
- $7^{24}$ записывается как единица, за которой следуют 24 нуля: $1\underbrace{00\ldots0}_{24}$

Сумма $7^{16} + 7^{24}$ в семеричной системе имеет единицы на позициях 16 и 24 (считая справа от нулевой позиции), остальные разряды — нули.

Теперь вычтем 7. Число 7 в семеричной системе — это $10_7$ (единица на позиции 1).

При вычитании $7^{16} + 7^{24} - 7$ происходит заём из позиции 1. Результат содержит:
- На позициях 2–15: нули (14 нулей)
- На позиции 1: шестёрка (заём)
- На позициях 17–23: нули (7 нулей)
- На позиции 24: единица
- На позициях 25 и выше: нули

Итого нулей: $14 + 7 = 21$... Пересчитаем более аккуратно.

Используем программный подход для точности:

```python
x = 49**8 + 7**24 - 7
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 7)
    x //= 7
s = s[::-1]
print(s.count('0'))
```

Программа вычисляет значение выражения, переводит его в семеричную систему счисления и подсчитывает количество нулей в полученной записи.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/ad/ad10e0f34e42af027766353963d93154.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/4a/4afd446238b897c92376d47d9d4be570.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике