Question

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет след в виде линии.

Команды исполнителя:
- **Поднять хвост** — переход к перемещению без рисования
- **Опустить хвост** — переход в режим рисования
- **Вперёд n** — передвижение на n единиц в направлении головы
- **Назад n** — передвижение на n единиц в противоположном направлении
- **Направо m** — поворот на m градусов по часовой стрелке
- **Налево m** — поворот на m градусов против часовой стрелки
- **Повтори k [...]** — повторение последовательности команд k раз

Черепахе дан алгоритм:

```
Повтори 4 [Вперёд 10 Направо 270]
Поднять хвост
Вперёд 3
Направо 270
Вперёд 5
Направо 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 270 Вперёд 12 Направо 270]
```

Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.

Accepted Answer

216

Answer

Идея решения: выполнить алгоритм движения Черепахи, записать все координаты, через которые она проходит при опущенном хвосте, затем подсчитать целочисленные точки внутри и на границе полученных фигур.

Разберём выполнение алгоритма пошагово.

**Шаг 1: Первый цикл `Повтори 4 [Вперёд 10 Направо 270]`**

Черепаха начинает в точке $(0, 0)$, голова направлена вверх (угол 90°), хвост опущен.
- Итерация 1: движется вверх на 10 единиц до $(0, 10)$, поворачивает на 270° по часовой (теперь смотрит влево, угол 180°)
- Итерация 2: движется влево на 10 единиц до $(-10, 10)$, поворачивает (теперь смотрит вниз, угол 270°)
- Итерация 3: движется вниз на 10 единиц до $(-10, 0)$, поворачивает (теперь смотрит вправо, угол 0°)
- Итерация 4: движется вправо на 10 единиц до $(0, 0)$, поворачивает (теперь смотрит вверх, угол 90°)

Результат: квадрат со сторонами от $-10$ до $0$ по обеим осям.

**Шаг 2: Перемещение без рисования**

- Поднять хвост
- Вперёд 3: движется вверх до $(0, 3)$
- Направо 270: поворот (смотрит влево)
- Вперёд 5: движется влево до $(-5, 3)$
- Направо 90: поворот (смотрит вверх)

**Шаг 3: Второй цикл `Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 270 Вперёд 12 Направо 270]`**

Опустить хвост. Черепаха в точке $(-5, 3)$, смотрит вверх.
- Итерация 1:
  - Вперёд 10: движется вверх до $(-5, 13)$
  - Направо 270: поворот (смотрит влево)
  - Вперёд 12: движется влево до $(-17, 13)$
  - Направо 270: поворот (смотрит вниз)
- Итерация 2:
  - Вперёд 10: движется вниз до $(-17, 3)$
  - Направо 270: поворот (смотрит вправо)
  - Вперёд 12: движется вправо до $(-5, 3)$
  - Направо 270: поворот (смотрит вверх)

Результат: прямоугольник с вершинами $(-5, 3)$, $(-5, 13)$, $(-17, 13)$, $(-17, 3)$.

**Подсчёт целочисленных точек**

Первая фигура (квадрат): вершины $(0, 0)$, $(0, 10)$, $(-10, 10)$, $(-10, 0)$.
- Количество целочисленных точек: $(10 + 1) 	imes (10 + 1) = 121$

Вторая фигура (прямоугольник): вершины $(-5, 3)$, $(-5, 13)$, $(-17, 13)$, $(-17, 3)$.
- Ширина: от $-17$ до $-5$, то есть $13$ единиц (включая границы: $13 - (-5) = 12 + 1 = 13$)
- Высота: от $3$ до $13$, то есть $11$ единиц (включая границы: $13 - 3 + 1 = 11$)
- Количество целочисленных точек: $13 	imes 11 = 143$

Пересечение фигур: область от $x = -5$ до $x = 0$ и от $y = 3$ до $y = 10$.
- Ширина: $0 - (-5) + 1 = 6$
- Высота: $10 - 3 + 1 = 8$
- Количество целочисленных точек в пересечении: $6 	imes 8 = 48$

По принципу включения-исключения:
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 121 + 143 - 48 = 216$$

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=147139)

Задание №6Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике