Question

Найти наибольшее целое неотрицательное число $A$, при котором выражение

$$(x > A) \lor (y > x) \lor (2y + x < 110)$$

тождественно истинно для всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

Accepted Answer

36

Answer

Идея решения: найти максимальное значение $A$, при котором дизъюнкция трёх условий остаётся истинной для любой пары неотрицательных целых чисел; это равносильно поиску наибольшей точки, которая не попадает в область, где все три условия одновременно ложны.

Выражение ложно только если одновременно выполнены все три отрицания:
- $x \le A$
- $y \le x$
- $2y + x \ge 110$

Обозначим множество точек, где выражение ложно:
$$S = \{(x, y) : x \le A, \, y \le x, \, 2y + x \ge 110\}$$

Чтобы исходное выражение было тождественно истинно, множество $S$ должно быть пусто для всех неотрицательных целых $x$ и $y$.

Найдём граничные точки области, где $y \le x$ и $2y + x \ge 110$. На границе $y = x$ и $2y + x = 110$:
$$2x + x = 110 \implies 3x = 110 \implies x = \frac{110}{3} \approx 36{,}67$$

Для целых чисел при $x = 36$: $y = 36$ и $2 \cdot 36 + 36 = 108 < 110$ — условие $2y + x \ge 110$ не выполнено.

При $x = 37$: $y = 37$ и $2 \cdot 37 + 37 = 111 \ge 110$ — оба условия выполнены.

Таким образом, точка $(37, 37)$ принадлежит области, где все три условия могут быть ложны. Чтобы исключить эту точку из множества $S$, необходимо $A < 37$, то есть $A \le 36$.

Проверим $A = 36$: для любой точки $(x, y)$ с $x \le 36$ и $y \le x$ имеем $2y + x \le 2x + x = 3x \le 3 \cdot 36 = 108 < 110$, поэтому третье условие $2y + x < 110$ истинно. Выражение остаётся истинным.

Проверим $A = 37$: точка $(37, 37)$ удовлетворяет $x \le 37$, $y \le x$ и $2y + x = 111 \ge 110$, поэтому все три условия ложны, и выражение становится ложным.

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=149953)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/61/6141d546e4e83be5b25d44340ed89554.svg)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике