Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [20, 50]$ и $Q = [30, 65]$. Отрезок $A$ таков, что формула

$$
eg(x \in A) 	o ((x \in P) 	o 
eg(x \in Q))$$

истинна при любом значении переменной $x$. Какова наименьшая возможная длина отрезка $A$?

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение в эквивалентную форму, найти, где оно может быть ложным, и определить минимальный отрезок $A$, который гарантирует истинность при всех $x$.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем исходную формулу, используя эквивалентность $\alpha 	o \beta \equiv 
eg \alpha \lor \beta$:

$$
eg A 	o (P 	o 
eg Q) \equiv A \lor (P 	o 
eg Q) \equiv A \lor 
eg P \lor 
eg Q$$

Для того чтобы выражение $A \lor 
eg P \lor 
eg Q$ было истинно при всех $x$, оно должно быть истинно везде, где $A$ ложно. Это означает, что $
eg P \lor 
eg Q$ должно быть истинно везде вне $A$.

Условию $
eg P \lor 
eg Q = 1$ удовлетворяют точки, где $x 
otin P$ или $x 
otin Q$. Это множество $(-\infty, 20) \cup (50, +\infty) \cup (-\infty, 30) \cup (65, +\infty)$, что упрощается до $(-\infty, 30) \cup (50, +\infty)$.

Дополнение этого множества — область, где $
eg P \lor 
eg Q = 0$ — это $[30, 50]$.

Поскольку выражение $A \lor 
eg P \lor 
eg Q$ должно быть тождественно истинным, отрезок $A$ должен полностью покрывать интервал $[30, 50]$, где оба условия $P$ и $Q$ одновременно истинны.

Минимальная длина отрезка $A$, который содержит $[30, 50]$, равна:

$$50 - 30 = 20$$

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике