Question

Для кодирования последовательности из букв Л, М, Н, П, Р используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано: никакое кодовое слово не является началом другого. Для букв Л, М, Н уже определены коды: 00, 01, 11 соответственно. Для букв П и Р коды неизвестны.

Найдите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы П, при котором код удовлетворяет условию Фано. Если существует несколько кодов одинаковой длины, выберите код с наименьшим числовым значением.

Accepted Answer

100

Answer

Идея решения: построить префиксное дерево для существующих кодов и найти кратчайший свободный путь, который не нарушает условие Фано.

Проанализируем занятые коды:
- Л: 00
- М: 01
- Н: 11

Проверим возможные коды для П:

**Длина 1:** коды 0 и 1 невозможны, так как они являются префиксами существующих кодов (0 — префикс 00 и 01; 1 — префикс 11).

**Длина 2:** коды 00, 01, 11 уже заняты. Остаётся только 10. Однако если использовать 10 для П, то для Р остаётся только один путь длины 3, начинающийся с 10 (например, 100 или 101). Это допустимо, но проверим, есть ли более короткие варианты.

**Длина 3:** рассмотрим коды, начинающиеся с 10:
- 100 — свободен (не является префиксом других кодов и не содержит их как префикс)
- 101 — свободен

Если П кодируется как 100, то Р может быть 101. Оба кода удовлетворяют условию Фано.

Если П кодируется как 10, то Р должен начинаться с 10, что приведёт к кодам длины 3 или больше. Но 10 имеет длину 2, что короче 100.

Однако проверим: если П = 10, то для Р остаются коды 100, 101, 110, 111 и т. д. Это работает, но 10 < 100 по длине.

Пересчитаем: коды 00, 01, 11 заняты. Код 10 свободен и имеет длину 2. Если П = 10, то Р может быть любым кодом, не начинающимся с 00, 01, 11 и не совпадающим с 10. Например, Р = 100 или 101.

Но условие требует кратчайшее слово для П. Проверим ещё раз:
- 0 и 1 — невозможны (префиксы)
- 10 — возможен (длина 2)

Если П = 10, то Р может быть 100, 101, 110, 111 и т. д. Все они удовлетворяют условию Фано.

Однако в задаче требуется кратчайшее слово для П. Если 10 возможен, то ответ должен быть 10, а не 100.

Перепроверим условие: «никакое кодовое слово не является началом другого». Если П = 10 и Р = 100, то 10 является началом 100 — это нарушает условие Фано!

Следовательно, П не может быть 10. Минимальная длина для П — 3. Коды длины 3, не нарушающие условие Фано:
- 100 (не является префиксом других кодов, не содержит их как префикс)
- 101 (аналогично)

Код 100 имеет наименьшее числовое значение среди кодов длины 3.

Задание №4Представление информацииЕГЭ по информатике