Question

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

- $F(n) = 1$ при $n = 1$;
- $F(n) = (n - 1) \cdot F(n - 1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $\frac{F(2024) + 2 \cdot F(2023)}{F(2022)}$?

Accepted Answer

4094550

Answer

Идея решения: заметить, что $F(n) = (n-1)!$, затем упростить выражение через факториалы.

Проанализируем рекуррентное соотношение:
- $F(1) = 1 = 0!$
- $F(2) = 1 \cdot F(1) = 1 = 1!$
- $F(3) = 2 \cdot F(2) = 2 = 2!$
- $F(4) = 3 \cdot F(3) = 6 = 3!$

Видно, что $F(n) = (n-1)!$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{F(2024) + 2 \cdot F(2023)}{F(2022)} = \frac{2023! + 2 \cdot 2022!}{2021!}$$

Вынесем $2022!$ из числителя:

$$\frac{2023 \cdot 2022! + 2 \cdot 2022!}{2021!} = \frac{(2023 + 2) \cdot 2022!}{2021!} = \frac{2025 \cdot 2022!}{2021!}$$

Упростим:

$$\frac{2025 \cdot 2022 \cdot 2021!}{2021!} = 2025 \cdot 2022 = 4094550$$

Проверим вычислением на Python:

```python
import sys
sys.setrecursionlimit(10**6)

def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n > 1:
        return (n - 1) * F(n - 1)

print((F(2024) + 2 * F(2023)) // F(2022))
```

Альтернативный подход с массивом:

```python
F = [0] * 2025
F[1] = 1
for n in range(2, 2025):
    F[n] = (n - 1) * F[n - 1]

print((F[2024] + 2 * F[2023]) // F[2022])
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/27/27e3702db8011a1233b081e05b01b353.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/0e/0e3304c77afb04b9c91e9ae0dae85714.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/a5/a558825285b2eccb27d6bf757f40e1ea.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/bf/bfe2460f803c84ee29608faad1485e60.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e0/e0d9f8f6803addc222b7a7c476bc3215.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/36/360a90436974b238c366fd3f97947ab6.svg)

Задание №16Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике