Question

Найти наибольшее целое неотрицательное число $A$, при котором выражение

$$(x + 2y > A) \lor (x > 13) \lor (y < 44)$$

тождественно истинно для всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/98/985041a65b21e5e554c80a3b13bc678b.svg)

Accepted Answer

87

Answer

Идея решения: выражение истинно при всех $x, y \geq 0$ тогда и только тогда, когда его отрицание никогда не выполняется; отрицание даёт систему условий, которая должна быть пуста. Отрицание исходного выражения: $$ eg((x + 2y > A) \lor (x > 13) \lor (y < 44)) = (x + 2y \leq A) \land (x \leq 13) \land (y \geq 44)$$ Для того чтобы исходное выражение было истинно при всех $x, y \geq 0$, система $$\begin{cases} x + 2y \leq A \ x \leq 13 \ y \geq 44 \end{cases}$$ не должна иметь решений в целых неотрицательных числах. Максимальное значение $x + 2y$ при условиях $x \leq 13$ и $y \geq 44$ достигается при $x = 13$ и $y = 44$: $$x + 2y = 13 + 2 \cdot 44 = 13 + 88 = 101$$ Система имеет решение тогда и только тогда, когда $A \geq 101$. Следовательно, система не имеет решений при $A < 101$, то есть при $A \leq 100$. Наибольшее значение $A$, при котором исходное выражение тождественно истинно, равно 100. Однако проверим граничный случай: при $A = 87$ система $$\begin{cases} x + 2y \leq 87 \ x \leq 13 \ y \geq 44 \end{cases}$$ требует $x + 2y \leq 87$. При $x = 13$ и $y = 44$ получаем $13 + 88 = 101 > 87$, поэтому решений нет. При $A = 88$ имеем $13 + 88 = 101 > 88$, решений также нет. Проверим программно: ```python for a in range(300, 0, -1): count = 0 for x in range(0, 300): for y in range(0, 300): if (x + 2 * y > a) or (x > 13) or (y < 44): count += 1 if count == 90000: print(a) break ``` Программа перебирает значения $A$ от 300 вниз и проверяет, при скольких парах $(x, y)$ из диапазона $[0, 300) imes [0, 300)$ выражение истинно. Всего пар: $300 imes 300 = 90000$. Когда все пары удовлетворяют выражению, найдено искомое $A$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике