Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [1, 39]$ и $Q = [23, 58]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$((x \in P) 	o 
eg(x \in Q)) 	o 
eg(x \in A)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[5, 20]$
2) $[25, 35]$
3) $[40, 55]$
4) $[20, 40]$

Accepted Answer

2

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, найти множество, где оно может быть ложным, и выбрать отрезок, который исключает это множество.

Обозначим: $P \equiv (x \in P)$, $Q \equiv (x \in Q)$, $A \equiv (x \in A)$.

Исходное выражение:
$$(P 	o 
eg Q) 	o 
eg A$$

Применим эквивалентность $X 	o Y \equiv 
eg X \lor Y$:
$$(P 	o 
eg Q) 	o 
eg A \equiv 
eg(P 	o 
eg Q) \lor 
eg A$$

Преобразуем $P 	o 
eg Q$:
$$P 	o 
eg Q \equiv 
eg P \lor 
eg Q$$

Тогда:
$$
eg(P 	o 
eg Q) \equiv 
eg(
eg P \lor 
eg Q) \equiv P \land Q$$

Получаем:
$$(P \land Q) \lor 
eg A$$

Для тождественной истинности этого выражения при всех $x$ необходимо, чтобы оно было истинно везде. Выражение $(P \land Q) \lor 
eg A$ ложно только когда одновременно $P \land Q = 0$ и $
eg A = 0$, то есть когда $P \land Q = 0$ и $A = 1$.

Найдём пересечение отрезков $P$ и $Q$:
$$P \cap Q = [1, 39] \cap [23, 58] = [23, 39]$$

Для истинности выражения при всех $x$ требуется, чтобы $
eg A$ была истинна везде, где $P \land Q$ ложна. Это означает, что $A$ должна быть ложна везде, где $P \land Q$ ложна, или эквивалентно: $A$ может быть истинна только там, где $P \land Q$ истинна.

Следовательно, $A \subseteq [23, 39]$.

Из предложенных вариантов только отрезок $[25, 35]$ полностью содержится в $[23, 39]$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике