Question

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: $4^{16} + 2^{36} - 16$?

Accepted Answer

29

Answer

Идея решения: преобразовать выражение к степеням двойки, выполнить арифметику в двоичной системе и подсчитать единицы.

Приведём все слагаемые к степеням двойки:
- $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$
- $2^{36}$ уже в нужном виде
- $16 = 2^4$

Исходное выражение принимает вид:
$$2^{32} + 2^{36} - 2^4$$

В двоичной записи:
- $2^{32}$ — единица на позиции 32 (считая с нуля): $1\underbrace{00\ldots0}_{32}$
- $2^{36}$ — единица на позиции 36: $1\underbrace{00\ldots0}_{36}$
- $2^4$ — единица на позиции 4: $10000$

Сначала сложим $2^{32} + 2^{36}$:
$$2^{32} + 2^{36} = 1\underbrace{00\ldots0}_{32} + 1\underbrace{00\ldots0}_{36} = 1\underbrace{00\ldots0}_{4}1\underbrace{00\ldots0}_{32}$$

Это число имеет единицы на позициях 36 и 32, остальные позиции — нули.

Теперь вычтем $2^4$:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{4}1\underbrace{00\ldots0}_{32} - 10000$$

При вычитании из позиции 4 происходит заём из позиции 32. Позиция 32 становится нулём, позиции с 4 по 31 становятся единицами (всего 28 единиц), позиция 4 становится нулём. Позиция 36 остаётся единицей.

Результат в двоичной записи:
$$1\underbrace{11\ldots1}_{28}0000$$

Количество единиц: $1 + 28 = 29$.

Проверка через код:

```python
x = 4**16 + 2**36 - 16
print(bin(x)[2:].count('1'))
```

Или компактнее:

```python
print(bin(4**16 + 2**36 - 16)[2:].count('1'))
```

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике