Question

Значение арифметического выражения $9^{11} \cdot 3^{20} - 3^9 - 27$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Accepted Answer

38

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени тройки, затем вычислить его троичное представление и подсчитать количество двоек.

Приведём все компоненты выражения к степеням числа 3:
- $9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}$
- $27 = 3^3$

Исходное выражение принимает вид:
$$3^{22} \cdot 3^{20} - 3^9 - 3^3 = 3^{42} - 3^9 - 3^3$$

Вычислим это выражение пошагово в троичной системе.

**Шаг 1.** Найдём $3^{42} - 3^9$ в системе счисления с основанием 3.

В троичной записи $3^{42}$ — это единица, за которой следуют 42 нуля: $1\underbrace{00\ldots0}_{42}$.

При вычитании $3^9$ (единица с 9 нулями) из $3^{42}$ происходит заём из старшего разряда. Результат:
$$3^{42} - 3^9 = \underbrace{22\ldots2}_{33} \underbrace{00\ldots0}_{9}$$

(33 двойки, затем 9 нулей)

**Шаг 2.** Вычтем $3^3 = 1000_3$ из полученного результата.

Число $\underbrace{22\ldots2}_{33} \underbrace{00\ldots0}_{9}$ имеет 9 нулей в конце. При вычитании $3^3$ (которое в троичной записи — единица на позиции 3) происходит заём:

$$\underbrace{22\ldots2}_{33} \underbrace{00\ldots0}_{9} - 1000_3 = \underbrace{22\ldots2}_{32} 1 \underbrace{22\ldots2}_{6} \underbrace{00\ldots0}_{3}$$

(32 двойки, одна единица, 6 двоек, затем 3 нуля)

**Подсчёт двоек:** $32 + 6 = 38$.

Проверим вычислением на Python:

```python
x = (9**11) * (3**20) - 3**9 - 27
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 3)
    x //= 3
s = s[::-1]
print(s.count('2'))
```

Программа выводит: `38`

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/2d/2daba163373cc8b157c1e5e7c56dfb5f.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/7d/7d6499284716f14aaaa23c41da42c3bb.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/88/883c4eba2414b23c8b120cd7653fd3e1.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e2/e258ef8ff7d7ad7f1ffc74b408994031.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике