Question

Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно два нуля. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: перебрать все допустимые значения $x$ и для каждого вычислить $3^{100} - x$, затем подсчитать количество нулей в его троичной записи.

Число $3^{100}$ в троичной системе — это единица, за которой следуют 100 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{100}$.

При вычитании $x$ из этого числа в троичной системе происходит заём из старших разрядов. Чтобы в результате осталось ровно два нуля, нужно найти минимальное $x$, которое при вычитании из $3^{100}$ даст требуемое количество нулей в троичной записи.

Переберём значения $x$ от 1 до 2030 и для каждого:
1. Вычислим $3^{100} - x$.
2. Переведём результат в троичную систему, подсчитав количество остатков, равных нулю при делении на 3.
3. Найдём первое значение $x$, при котором количество нулей равно 2.

```python
for x in range(2031):
    t = 3**100 - x
    count = 0
    while t != 0:
        if t % 3 == 0:
            count += 1
        t = t // 3
    if count == 2:
        print(x)
        break
```

Программа перебирает значения $x$ в порядке возрастания и выводит первое значение, при котором в троичной записи числа $3^{100} - x$ содержится ровно два нуля.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике