Question

Найти количество цифр 4 в записи выражения $5^{36} + 5^{24} - 25$ в системе счисления с основанием 5.

Accepted Answer

22

Answer

Идея решения: вычислить выражение в десятичной системе, затем перевести результат в пятеричную и подсчитать количество цифр 4.

Представим выражение через степени пятёрки:
$$5^{36} + 5^{24} - 25 = 5^{36} + 5^{24} - 5^2$$

В системе счисления с основанием 5:
- $5^{36}$ записывается как единица, за которой следуют 36 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{36}$
- $5^{24}$ записывается как единица, за которой следуют 24 нуля: $1\underbrace{00\ldots0}_{24}$
- $5^2 = 25$ записывается как $100_5$

При вычитании $5^{24} - 5^2$ происходит заём из старших разрядов. Единица на позиции 24 преобразуется в цепочку четвёрок (максимальная цифра в пятеричной системе) на позициях с 2 по 23, что даёт 22 четвёрки.

Итоговая запись содержит 22 цифры 4.

Проверим вычислением на Python:

```python
N = 5**36 + 5**24 - 25
count = 0
while N > 0:
    if N % 5 == 4:
        count += 1
    N //= 5
print(count)
```

Альтернативный способ — преобразовать число в строку пятеричной записи:

```python
x = 5**36 + 5**24 - 25
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 5)
    x //= 5
s = s[::-1]
print(s.count('4'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/fb/fb400427983532f17d76e866c7d07028.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике