Question

Найдите количество пятизначных восьмеричных чисел, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом.

Accepted Answer

504

Answer

Идея решения: в восьмеричной системе 4 чётные цифры ($0, 2, 4, 6$) и 4 нечётные ($1, 3, 5, 7$); нужно чередовать чётные и нечётные позиции, учитывая, что первая цифра не может быть нулём.

**Аналитический подход:**

В восьмеричной системе счисления:
- чётные цифры: $0, 2, 4, 6$ (4 штуки);
- нечётные цифры: $1, 3, 5, 7$ (4 штуки).

Условие «никакие две чётные или две нечётные не стоят рядом» означает, что цифры должны чередоваться по чётности.

Для пятизначного числа возможны два паттерна:
1. **Нечётная–Чётная–Нечётная–Чётная–Нечётная** (Н-Ч-Н-Ч-Н):
   - 1-я позиция (нечётная): 4 варианта
   - 2-я позиция (чётная): 4 варианта
   - 3-я позиция (нечётная): 3 варианта (одна нечётная уже использована)
   - 4-я позиция (чётная): 3 варианта (одна чётная уже использована)
   - 5-я позиция (нечётная): 2 варианта (две нечётные уже использованы)
   
   Итого: $4 	imes 4 	imes 3 	imes 3 	imes 2 = 288$

2. **Чётная–Нечётная–Чётная–Нечётная–Чётная** (Ч-Н-Ч-Н-Ч):
   - 1-я позиция (чётная, не ноль): 3 варианта ($2, 4, 6$)
   - 2-я позиция (нечётная): 4 варианта
   - 3-я позиция (чётная): 3 варианта (одна чётная уже использована)
   - 4-я позиция (нечётная): 3 варианта (одна нечётная уже использована)
   - 5-я позиция (чётная): 2 варианта (две чётные уже использованы)
   
   Итого: $3 	imes 4 	imes 3 	imes 3 	imes 2 = 216$

Общее количество: $288 + 216 = 504$

```python
from itertools import permutations

s = permutations('01234567', 5)
count = 0

for perm in s:
    if perm[0] != '0':
        # Проверяем чередование чётности
        if (int(perm[0]) % 2 != int(perm[1]) % 2 and
            int(perm[1]) % 2 != int(perm[2]) % 2 and
            int(perm[2]) % 2 != int(perm[3]) % 2 and
            int(perm[3]) % 2 != int(perm[4]) % 2):
            count += 1

print(count)
```

Задание №8Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике