Question

Для кодирования последовательности, состоящей только из букв А, Б, В, Г, Д, Е, используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А и Б установлены кодовые слова 00 и 01 соответственно. Найдите наименьшую возможную сумму длин кодовых слов для букв В, Г, Д, Е, при которой код допускает однозначное декодирование.

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

**Примечание.** Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

Accepted Answer

12

Answer

Идея решения: поскольку коды для А и Б уже заняли все двухбитные последовательности, начинающиеся с 0, оставшиеся четыре буквы должны кодироваться словами, начинающимися с 1.

Проанализируем структуру кодов:
- Буквы А и Б имеют коды 00 и 01, которые занимают все пути, начинающиеся с 0.
- По условию Фано ни один новый код не может начинаться с 0 (иначе он был бы префиксом или содержал бы префикс для А или Б).
- Следовательно, коды для В, Г, Д, Е должны начинаться с 1.

Минимальная длина кодов для оставшихся букв:
- Все двухбитные коды, начинающиеся с 1, это 10 и 11. Их всего два, а букв четыре.
- Значит, минимум две буквы должны иметь коды длины 3.
- Оптимальное распределение: две буквы кодируются двухбитными словами (10, 11), две — трёхбитными (100, 101, 110, 111 — выбираем любые два из них).

Однако проверим, можно ли обойтись только двухбитными кодами: нет, их всего два (10 и 11), а букв четыре.

Оптимальное решение:
- Коды длины 2: 10, 11 (две буквы).
- Коды длины 3: 100, 101, 110, 111 (четыре буквы, выбираем две).

Но это даёт только четыре кода. Нужны все четыре буквы В, Г, Д, Е.

Пересчитаем: если использовать 10 и 11 для двух букв, то для оставшихся двух нужны коды длины 3. Но тогда всего букв пять, а нам нужно шесть.

Правильный подход: все четыре буквы В, Г, Д, Е кодируются трёхбитными словами 100, 101, 110, 111.

Сумма длин: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Задание №4Представление информацииЕГЭ по информатике