Question

Для какого наибольшего натурального значения $A$ выражение $(y + 3x > A) \lor (x < 20) \lor (y < 50)$ тождественно истинно для любых положительных целых $x$ и $y$?

Accepted Answer

109

Answer

Идея решения: выражение истинно при всех положительных целых $x$ и $y$ тогда и только тогда, когда множество точек, где оно ложно, пусто. Найдём максимальное $A$, при котором это условие выполняется.

Выражение ложно, когда одновременно:
- $y + 3x \leq A$
- $x \geq 20$
- $y \geq 50$

Для того чтобы выражение было истинно при всех положительных целых $x$ и $y$, не должно существовать ни одной пары $(x, y)$, удовлетворяющей всем трём условиям одновременно.

Найдём минимальное значение $y + 3x$ при условиях $x \geq 20$ и $y \geq 50$:
$$y + 3x \geq 50 + 3 \cdot 20 = 50 + 60 = 110$$

Таким образом, при $A = 109$ условие $y + 3x \leq A$ не может быть выполнено одновременно с $x \geq 20$ и $y \geq 50$. При $A = 110$ существует точка $(20, 50)$, где все три условия ложны, и выражение становится ложным.

Проверим перебором:

```python
for a in range(300, 0, -1):
    flag = True
    for x in range(1, 300):
        for y in range(1, 300):
            if not ((y + 3 * x > a) or (x < 20) or (y < 50)):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        print(a)
        break
```

Программа проверяет для каждого значения $A$ (от 300 вниз), существует ли хотя бы одна пара $(x, y)$, при которой выражение ложно. Первое найденное значение $A$, при котором таких пар нет, — это ответ.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике