Question

Определите количество 9-ричных 6-значных чисел, которые:
- не начинаются с нечётных цифр;
- не оканчиваются цифрами 2 или 3;
- содержат не менее двух цифр 1.

Accepted Answer

19868

Answer

Идея решения: подсчитать все 6-значные числа в 9-ричной системе, удовлетворяющие трём условиям одновременно, используя принцип включения-исключения или прямой перебор.

**Аналитический подход:**

Сначала найдём общее количество чисел, которые начинаются с чётной цифры (2, 4, 6, 8) и не оканчиваются на 2 или 3:
- первая позиция: 4 варианта (2, 4, 6, 8);
- позиции 2–5: по 9 вариантов каждая;
- последняя позиция: 7 вариантов (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8).

Итого: $4 \cdot 9^4 \cdot 7 = 183708$ чисел.

Теперь вычтем те, которые содержат менее двух единиц (т. е. не содержат единиц или содержат ровно одну).

Чисел без единиц:
- первая позиция: 4 варианта;
- позиции 2–5: по 8 вариантов (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8);
- последняя позиция: 6 вариантов (0, 4, 5, 6, 7, 8).

Итого: $4 \cdot 8^4 \cdot 6 = 98304$ чисел.

Чисел с ровно одной единицей на позиции $i$ (где $i \in \{2, 3, 4, 5\}$):
- первая позиция: 4 варианта;
- позиция $i$: 1 вариант (цифра 1);
- остальные позиции 2–5: по 8 вариантов;
- последняя позиция: 6 вариантов.

Итого для каждой позиции: $4 \cdot 8^3 \cdot 6 = 12288$ чисел.
Таких позиций четыре, поэтому: $4 \cdot 12288 = 49152$ чисел.

Чисел с единицей только на последней позиции:
- первая позиция: 4 варианта;
- позиции 2–5: по 8 вариантов;
- последняя позиция: 1 вариант (цифра 1).

Итого: $4 \cdot 8^4 = 16384$ чисел.

Количество чисел, удовлетворяющих всем условиям:
$$183708 - 98304 - 49152 - 16384 = 19868$$

**Решение на Python (прямой перебор):**

```python
count = 0
for x1 in "2468":
    for x2 in "012345678":
        for x3 in "012345678":
            for x4 in "012345678":
                for x5 in "012345678":
                    for x6 in "0145678":
                        s = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
                        if s.count("1") >= 2:
                            count += 1
print(count)
```

**Альтернативное решение с использованием `itertools`:**

```python
import itertools
a = [p for p in itertools.product('012345678', repeat=6)
     if p[0] in '2468' and p[-1] not in '23'
     and p.count('1') >= 2]
print(len(a))
```

Задание №8Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике