Question

Сколько единиц в двоичной записи числа, являющимся результатом следующего выражения?

$$4^{14} + 2^{32} - 4$$

Accepted Answer

27

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в двоичную систему, используя свойства степеней двойки, и подсчитать количество единиц.

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $4^{14} = 2^{28}$.

Исходное выражение принимает вид:
$$2^{28} + 2^{32} - 4 = 2^{28} + 2^{32} - 2^2$$

В двоичной записи:
- $2^{32}$ — это единица на позиции 32 (считая с нуля): $1\underbrace{00\ldots0}_{32}$
- $2^{28}$ — это единица на позиции 28: $\underbrace{00\ldots0}_{4}1\underbrace{00\ldots0}_{28}$
- $2^2 = 4$ — это единица на позиции 2: $\underbrace{00\ldots0}_{2}1\underbrace{00\ldots0}_{2}$

Сначала вычислим $2^{32} + 2^{28}$:
$$2^{32} + 2^{28} = 1\underbrace{00\ldots0}_{4}1\underbrace{00\ldots0}_{28}$$

Это число содержит две единицы (на позициях 32 и 28).

Теперь вычтем $2^2 = 4$:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{4}1\underbrace{00\ldots0}_{28} - 1\underbrace{00}_{2}$$

При вычитании единицы из позиции 2 происходит заём из позиции 28. Позиция 28 содержит единицу, поэтому после заёма она становится нулём, а позиции с 2 по 27 заполняются единицами:

$$1\underbrace{00\ldots0}_{4}\underbrace{11\ldots1}_{26}\underbrace{00}_{2}$$

Подсчитаем единицы: одна единица на позиции 32 и 26 единиц на позициях с 2 по 27.

Итого: $1 + 26 = 27$ единиц.

```python
print(bin(4**14 + 2**32 - 4)[2:].count('1'))
```

Альтернативный способ:

```python
x = 4**14 + 2**32 - 4
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 2)
    x //= 2
s = s[::-1]
print(s.count('1'))
```

Или через форматирование:

```python
print(f'{4**14 + 2**32 - 4:b}'.count('1'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f6/f639f1dd42c853231c1ef3765aa00981.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/c7/c762ff3ec9e33bfbbb3410fc847e7ffc.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике