Question

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 15 имеет ровно три значащих разряда.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: найти минимальное основание, при котором число 15 представимо трёхзначным числом в этой системе.

Трёхзначное число в системе с основанием $n$ имеет вид $a_2 n^2 + a_1 n + a_0$, где $a_2 \geq 1$ (старший разряд не равен нулю). Минимальное трёхзначное число — это $1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 0 = n^2$, максимальное — $(n-1) \cdot n^2 + (n-1) \cdot n + (n-1) = n^3 - 1$.

Чтобы число 15 имело ровно три значащих разряда, оно должно попадать в диапазон:
$$n^2 \leq 15 \leq n^3 - 1$$

Из левого неравенства: $n^2 \leq 15 \Rightarrow n \leq \sqrt{15} \approx 3{,}87$, откуда $n \leq 3$.

Из правого неравенства: $15 \leq n^3 - 1 \Rightarrow n^3 \geq 16 \Rightarrow n \geq \sqrt[3]{16} \approx 2{,}52$, откуда $n \geq 3$.

Оба условия выполняются при $n = 3$.

Проверка: в системе счисления с основанием 3 число 15 записывается как $15 = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 = 120_3$ — действительно трёхзначное число.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике