Закон сохранения импульса

В этой статье вы сможете узнать:

• что такое импульс тела и импульс силы и как они связаны между собой;
• как формулируется закон сохранения импульса и при каких условиях он выполняется;
• чем упругое столкновение отличается от неупругого при решении задач.

Импульс тела

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Импульс измеряется в кг·м/с и направлен так же, как скорость тела.

Импульс силы и теорема об изменении импульса

Импульс силы — это произведение силы на время её действия. Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей силы, действующей на него:

$\vec{F}\Delta t = \Delta \vec{p} = m\vec{v} - m\vec{v}_0$

Это соотношение (второй закон Ньютона в импульсной форме) особенно удобно применять, когда сила действует кратковременно (удар, столкновение).

Пример. Мяч массой 0,5 кг летит со скоростью 10 м/с и после удара о стену отскакивает в противоположном направлении со скоростью 8 м/с. Удар длится 0,02 с. Найдите среднюю силу удара.

Выберем положительное направление в сторону начальной скорости мяча. Тогда конечная скорость равна $-8$ м/с.

$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{m(v-v_0)}{\Delta t} = \dfrac{0{,}5\cdot(-8-10)}{0{,}02} = \dfrac{0{,}5\cdot(-18)}{0{,}02} = \dfrac{-9}{0{,}02} = -450 \text{ Н}$

Модуль силы удара составляет 450 Н, направлена она противоположно начальному движению мяча.

Закон сохранения импульса

Если система тел замкнута (на неё не действуют внешние силы, либо их равнодействующая равна нулю), суммарный импульс системы остаётся постоянным при любых взаимодействиях внутри неё (столкновениях, взрывах и так далее):

$\sum \vec{p}_{\text{до}} = \sum \vec{p}_{\text{после}}$

Для двух тел, взаимодействующих между собой:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$

Абсолютно неупругое столкновение

При абсолютно неупругом столкновении тела после взаимодействия движутся с одинаковой скоростью (слипаются или продолжают движение как единое целое). Закон сохранения импульса принимает вид:

$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$

Пример. Тележка массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг, после чего они движутся вместе. Найдите общую скорость после столкновения.

$v = \dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} = \dfrac{3\cdot4+1\cdot0}{3+1} = \dfrac{12}{4} = 3 \text{ м/с}$

Абсолютно упругое столкновение

При абсолютно упругом столкновении сохраняется не только импульс, но и суммарная кинетическая энергия системы. Для случая столкновения тела с неподвижным телом такой же массы упругое столкновение приводит к полному обмену скоростями.

Реактивное движение

Реактивное движение — ещё одно применение закона сохранения импульса: при отделении части массы тела (например, выброса газов из ракеты) с некоторой скоростью оставшаяся часть тела приобретает скорость в противоположном направлении, так, чтобы суммарный импульс системы сохранился.

Пример. Ракета массой 1000 кг (без учёта топлива) неподвижна и выбрасывает 10 кг газа со скоростью 500 м/с относительно Земли. Найдите скорость, которую приобретёт ракета.

По закону сохранения импульса (начальный суммарный импульс равен нулю):

$0 = M_{\text{ракеты}}v_{\text{ракеты}} + m_{\text{газа}}v_{\text{газа}}$ $v_{\text{ракеты}} = -\dfrac{m_{\text{газа}}v_{\text{газа}}}{M_{\text{ракеты}}} = -\dfrac{10\cdot500}{1000} = -5 \text{ м/с}$

Ракета приобретает скорость 5 м/с в направлении, противоположном выбросу газа.

Алгоритм решения задач на закон сохранения импульса

1. Определите систему тел и убедитесь, что она замкнута (внешние силы отсутствуют или скомпенсированы) — иначе закон сохранения импульса неприменим в чистом виде.
2. Выберите положительное направление оси и запишите проекции скоростей всех тел до взаимодействия.
3. Определите тип взаимодействия: абсолютно неупругое (тела движутся вместе после столкновения) или упругое/иное (скорости остаются разными).
4. Запишите закон сохранения импульса в проекциях: $\sum m_iv_i(\text{до}) = \sum m_iv_i(\text{после})$.
5. Решите уравнение относительно искомой величины, учитывая знаки скоростей в выбранной системе координат.

Примеры решения

Пример 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 5 м/с и налетает на неподвижное тело массой 3 кг, после чего они движутся вместе. Найдите общую скорость.

$v = \dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2} = \dfrac{2\cdot5}{2+3} = \dfrac{10}{5} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: 2 м/с.

Пример 2. Два шара массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 1 м/с соответственно и слипаются при столкновении. Найдите скорость и направление движения после столкновения.

Выберем направление движения первого шара как положительное, тогда скорость второго шара равна $-1$ м/с.

$v = \dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} = \dfrac{1\cdot3+2\cdot(-1)}{1+2} = \dfrac{3-2}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33 \text{ м/с}$

Ответ: примерно 0,33 м/с в направлении движения первого шара.

Пример 3. Пуля массой 10 г летит со скоростью 400 м/с и застревает в неподвижном деревянном бруске массой 2 кг. Найдите скорость бруска с пулей после удара.

Переводим массу пули в килограммы: $0{,}01$ кг.

$v = \dfrac{m_{\text{пули}}v_{\text{пули}}}{m_{\text{пули}}+M_{\text{бруска}}} = \dfrac{0{,}01\cdot400}{0{,}01+2} = \dfrac{4}{2{,}01} \approx 1{,}99 \text{ м/с}$

Ответ: примерно 1,99 м/с.

Часто задаваемые вопросы

Почему закон сохранения импульса выполняется только для замкнутой системы? Потому что если на систему действуют внешние силы, они изменяют суммарный импульс системы согласно теореме об изменении импульса ($\vec{F}\Delta t=\Delta\vec{p}$) — закон сохранения выполняется точно только тогда, когда равнодействующая внешних сил равна нулю, либо приближённо, если внутренние силы взаимодействия (например, при ударе) значительно больше внешних за короткое время столкновения.

Чем принципиально отличается упругое столкновение от неупругого? При упругом столкновении сохраняется и импульс, и кинетическая энергия системы (тела после столкновения могут иметь разные скорости), а при абсолютно неупругом столкновении сохраняется только импульс, а часть кинетической энергии переходит в другие формы (тепло, деформацию), при этом тела после столкновения движутся с общей скоростью.

Как выбрать направление оси при решении задач с несколькими телами? Нужно выбрать любое удобное направление за положительное (обычно совпадающее с направлением скорости одного из тел) и последовательно учитывать знаки всех остальных скоростей относительно этого направления — если скорость тела направлена противоположно выбранной положительной оси, её проекция берётся со знаком минус.

Как объяснить реактивное движение с помощью закона сохранения импульса, если изначально всё неподвижно? Если система изначально покоится, суммарный импульс равен нулю; при выбросе части массы (газа) в одном направлении оставшаяся часть тела должна получить импульс, равный по модулю и противоположный по направлению, чтобы суммарный импульс системы остался равным нулю, — это и вызывает движение оставшейся части (например, ракеты) в сторону, противоположную выбросу.

Похожие темы для изучения

• Динамика: законы Ньютона
• Работа, мощность, механическая энергия
• Силы в механике: тяжести, упругости, трения
• Механические колебания и волны

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 4 кг движется со скоростью 6 м/с. Найдите его импульс.
2. Сила 20 Н действует на тело массой 2 кг в течение 0,5 с. Найдите изменение скорости тела, если оно изначально покоилось.
3. Тележка массой 5 кг, движущаяся со скоростью 2 м/с, сталкивается с неподвижной тележкой массой 3 кг, после чего они движутся вместе. Найдите общую скорость.
4. Два тела массами 2 кг и 4 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 5 м/с и 2 м/с и слипаются при столкновении. Найдите скорость после столкновения.
5. Ракета массой 2000 кг выбрасывает 20 кг газа со скоростью 600 м/с. Найдите скорость, приобретённую ракетой.
6. Объясните, почему при абсолютно неупругом столкновении кинетическая энергия системы уменьшается, хотя импульс сохраняется.